i and flow
2026.1.20
部分为 AI 创作。其中所有人名均为虚构，均非有意设定。
深夜十一点半，小 L 的房间还亮着屏幕的光。
他盯着「网络流 24 题」题单的进度条，23 / 24，最后一个红叉格外刺眼。第 24 题，《机器人路径规划问题》。题面描述了一段科幻场景：
火星探险队有 n 种型号的机器人需要从基地 A 运输到矿区 B。火星表面有 m 条通道，每条通道有通过限制……请规划路径使总运输量最大。
小 L 已经苦战三天。他尝试了所有模板：Dinic、ISAP、费用流、上下界流，甚至自己改写了 HLPP。每次提交，评测系统都只返回冷冰冰的「Wrong Answer」。
最诡异的是，这道题没有公开的解题报告。
论坛里零星有几条帖子：「T24 是不是数据有问题？」「我怀疑这题无解。」但都被管理员很快删除。只有一条三年前的留言幸存：「别做第 24 题，那是个——」
留言截断了。
小 L 揉了揉发胀的太阳穴。窗外的城市灯火渐稀，电脑旁的咖啡已经凉透。明天就是省选，这本该是最后的查漏补缺。
「最后一次。」他对自己说，敲下重新提交。
屏幕闪烁。
不是评测结果页面，而是一段从未见过的提示：
检测到连续错误提交 23 次。
正在连接……连接成功。
白光吞没了视野。
小 L 醒来时，发现自己坐在一间纯白的控制室里。
面前是巨大的全息屏幕，分割成 24 个小窗口，每个窗口都是一道题的情景：第一题里，英国飞行员和外国飞行员正在机场列队；第四题里，圆桌旁围坐着来自不同国家的代表；第十三题中，星际车队正在装卸货物……
「这是……题面世界？」小 L 喃喃自语。
「准确说，是网络流题库的具象化系统。」
声音来自背后。小 L 转身，看见一个穿飞行夹克的年轻人靠在墙边，臂章上绣着「飞行员小 G」。
「我叫小 G，第一题《飞行员配对方案》的引导员。」他指了指屏幕，「你刚才在现实世界的反复提交，激活了系统的纠错协议。现在，整个题库的模拟系统正在崩溃。」
「崩溃？」
「从第 24 题开始。」小 G 调出主屏幕，T24 的窗口正在不断闪烁，像接触不良的电视信号。窗口里，火星基地的影像扭曲变形，机器人在红色的沙地上无序乱转。
「T24 是一个逻辑悖论。它的约束条件在数学上无法同时满足。」小 G 严肃地说，「但当初设计这个题库时，没人相信会有学员真的做到最后一题，更没人会连续提交 23 次错误答案而不放弃。」
「所以系统出故障了？」
「比那更糟。网络流空间的稳定依赖于所有题目逻辑自洽。一道错题就像程序里的死循环，正在吞噬其他题目的数据。」小 G 指向其他窗口 —— 第三题《最小路径覆盖》里，原本整齐的路径开始互相缠绕；第九题《方格取数》的棋盘上，数字正在消失。
「如果让崩溃扩散，整个系统会瓦解。现实世界里所有使用这个题库的学员，他们的学习记录、提交代码、甚至解题思路都会被清空。」
小 L 手心冒汗：「我能做什么？」
「你是触发者，也是唯一能在系统内部操作的人。」小 G 按下控制台按钮，地面升起一个数据接口，「进入 T24 的场景，找到矛盾点，然后 —— 修改题面。」
「修改题面？可我只是个学员……」
「你也是三天来唯一看出这题‘不对劲’的人。系统选择了你。」
全息屏上弹出倒计时：03:59:59。
「四小时后，崩溃将不可逆。带上这个。」小 G 递来一个银色手环，上面有简单的触摸屏，「这里面封装了最大流、费用流、上下界流的所有算法实现。在场景里，它们会是你可以调用的‘工具’。」
「工具？」
「在模拟世界里，算法就是你的武器。去吧，小骑士。」
「骑士？」
小 G 指向屏幕上的第七题，《试题库问题》的窗口一闪而过，里面隐约可见骑士盔甲的反光。「每个题目的场景都有自己的守护者。T24 的，应该还在坚持维持运转。」
白光再次亮起。
小 L 最后看到的是小 G 的敬礼，然后便坠入了火星的红色沙漠。
热浪扑面而来。
小 L 站在一座银白色的基地前，穹顶覆盖着太阳能板。远处是橙红色的天空和起伏的沙丘。基地门口，几个履带机器人正来回搬运矿石，但它们的动作僵硬而重复，不时撞在一起。
「又一个迷失者？」
声音来自头顶。小 L 抬头，看见一个戴护目镜的少女坐在基地的通讯天线上，穿着橙色的探险服，胸前名牌写着「火星勘探员小 M」。
「你是 T24 的……」
「守护程序之一。」小 M 轻盈地跳下，落地无声，「叫我小 M。跟我来，路上解释。」
她领着快步走进基地内部。走廊两侧是玻璃幕墙，墙外就是开采区。小 L 看到更诡异的一幕：一个运输机器人走到通道口，突然停住，左右摇摆，然后掉头返回，几分钟后又重复同样的动作。
「路径规划冲突。」小 M 说，「题面要求：所有机器人必须从 A 基地运到 B 矿区，但约束条件有两个 —— 第一，每条通道有容量限制；第二，某些型号的机器人不能共用同一通道。」
「这很正常啊，普通的网络流建模……」
「不。」小 M 在控制室停下，调出全息地图，「你看这里。」
地图上，A 基地和 B 矿区之间有三条主要通道：X、Y、Z。问题描述中有这样一段：
型号 α 的机器人只能通过通道 X 或 Y，但通道 X 和 Y 的总容量之和小于 α 型号的需求量；同时，型号 β 的机器人必须通过通道 Z，而通道 Z 的容量恰好等于 β 的需求。
小 L 皱眉：「这没问题，α 走一部分 X 一部分 Y，β 走 Z……」
「再看补充条件第三条。」小 M 放大文字。
小 L 读出声：「所有机器人必须在同一单位时间内完成运输……通道 X 和 Y 的使用不能同时进行，因为需要交替检修……这意味着 X 和 Y 的容量不能叠加计算。」
他愣住了。
如果 X 和 Y 不能同时使用，那么它们有效容量只能取最大值。而最大值小于 α 的需求。同时 Z 已经被 β 占满。
「所以 α 型号的机器人永远无法全部运输过去。」小 L 感到脊背发凉，「这是一个无解的问题。」
「不仅如此。」小 M 又调出一行隐藏条件，「这是原始题面里没有，但系统逻辑底层存在的：要求最大化运输量。当问题无解时，‘最大化’的定义就变成了最大化无解程度 —— 逻辑循环。」
控制室的灯光开始明灭。
「崩溃已经蔓延到这里了。」小 M 指着窗外 —— 一条沙丘正在像素化消失，像被擦除的图画，「你需要重写题面条件，让问题有解且逻辑自洽。」
「可怎么重写？我只是个学员……」
「你手环里的算法工具，就是这个世界的规则编辑器。」小 M 抓住他的手腕，「在网络流空间里，数学规则具象化为物理法则。你想改通道容量？那就用最大流算法重新分配；你想让 X 和 Y 能同时使用？那就用费用流优化调度方案。」
手环屏幕亮起，浮现出熟悉的代码界面。
「但记住，」小 M 认真地看着他，「你不能随便修改。新的题面必须满足：一、有唯一最优解；二、符合网络流建模的基本美学；三、难度保持在 24 题的水平。」
「网络流建模的……美学？」
「即简洁、优雅，用最少的约束展现模型的精髓。」小 M 笑了，「这是所有出题人的追求，不是吗？」
警报响起。远处的天空出现黑色的裂纹，像破碎的玻璃。
「时间不多了。」小 M 将他推向控制台，「开始吧，信息学骑士。用你的算法，给这个错题一个正确的答案。」
小 L 深吸一口气，手指触上手环屏幕。
他眼前的火星场景突然变成了熟悉的代码编辑器，但每一行代码都对应着现实：capacity[X] = 10; 对应着通道 X 的宽度变化；edge[u].push_back(v); 对应着在沙漠中新开辟一条小路。
他第一次感觉到，那些深夜死磕的模板代码，原来可以如此……有力。
第一个尝试：放宽 X 和 Y 不能同时使用的限制。
小 L 在手环上输入标准最大流模型的代码，构建源点、汇点、中间结点 ——
约束冲突。修改将破坏第七题《骑士共存问题》的棋盘约束逻辑。
全息屏弹出提示。小 L 看到第七题的窗口里，棋盘上的骑士棋子突然多了一个，打破了黑白格相间的规则。
「所有题目是关联的！」小 M 喊道，「你不能只改一处而不考虑整个系统的自洽！」
小 L 咬牙撤回修改。骑士棋子恢复原位。
他需要更系统的方案。仔细分析原题，核心矛盾是：需求总量 > 可用容量。要么增加容量，要么减少需求。
增加容量需要修改更多约束，可能引发连锁反应。那么 ——
「减少需求呢？」小 L 自言自语，「不，题面要求运输‘所有机器人’……」
「也许不是减少，」小 M 突然说，「而是重新定义‘所有’。」
她调出题面的原始文本，指向一句话：「n 种型号的机器人需要运输。」
「n 种，」小 M 强调，「没说每个型号多少台。如果某些型号只有象征性的少数……」
小 L 眼睛一亮。他迅速在手环上建模：
设型号 α 需要运输 x 台，型号 β 需要 y 台。原约束为：
- \(x > \max (C_X, C_Y)\) （因为 X 和 Y 不能同时用）
- \(y = C_Z\) （Z 通道被占满）
- \(x + y\) 必须全部运输
无解。
但如果引入第三个变量呢？小 L 敲入新条件：
「部分机器人可以拆解运输，在 B 矿区重组。」
这对应网络流中的拆点技巧。将一个结点拆分为入点和出点，中间连一条容量有限的边，表示通过能力。
他在模型中为型号 α 加入拆解选项：允许最多 k 台 α 机器人拆解为零件，通过其他通道运输。这样，对 X 和 Y 通道的容量需求降低为 (x-k)。
经过计算，当 k 取适当值时，问题有解。
逻辑检验中……
检验通过。但复杂度降低，不符合第 24 题难度定位。
小 L 皱眉。确实，这解法太直接了，降到 20 题左右的水平。
「需要增加巧妙性。」小 M 指着地图，「看这里，题面里还提到『某些通道有双向运输可能，但方向切换需要时间』。」
时间分层！小 L 脑中闪过思路。将时间维度纳入，每个时间步复制一层图，层之间连边表示停留或切换方向的时间消耗。这是网络流解决带时间约束问题的经典技巧。
他重新构建模型：
- 将整个运输过程分为 T 个时间单位
- 每一条通道在每个时间步是一个独立结点
- X 和 Y 通道交替可用：奇数时间步 X 开放，偶数时间步 Y 开放
- 机器人可以在基地等待（层间连边）
- 目标是 T 时间内运输尽可能多的机器人
现在问题变成了：在时间分层图上求最大流。
这保留了原题的几乎所有约束，只是通过时间维度化解了 X 和 Y 不能并行的矛盾。难度足够，建模优美。
小 L 开始编码。手环上的算法工具响应着他的思路：
- 构建 (T + 1) 层图，每层 n + m 个结点（n 个型号节点，m 条通道节点）
- 源点连接第一层的所有机器人型号结点，容量为需求数
- 最后一层的型号结点连接汇点
- 通道结点按照开放时间表连接相邻层的型号结点
- 机器人结点可以连向下一层的自身，表示等待
代码像诗一样流淌。小 L 忘记了时间，忘记了这是虚拟世界，他只感觉自己又回到了深夜的电脑前，与一道难题搏斗 —— 只是这次，搏斗的结果真的能改变什么。
Judging……
控制台开始输出结果：
- T = 10 时：87%
- T = 15 时：92%
- T = 20 时：96%
- T = 25 时：98%
- T = 30 时：100%
有解了。
但不是完美的 100% 立刻运输，而是需要时间。小 L 犹豫了。这算不算「最大化运输量」？
「有时候，」小 M 轻声说，「完美的解不存在，但渐近最优的解才是现实。这也许比原题更好。」
小 L 点头。他修改了题面的最终目标：
请规划运输方案，在有限时间内使运输量最大化。输出最大可行运输量及对应方案。
最终检验……
逻辑自洽性：通过
难度评估：省选 / NOI-
基地外的黑色裂纹开始愈合。天空的像素点重新排列成橙红色。那些原地打转的机器人突然停下，然后按照新的路径规划有序地向矿区前进。
世界安静下来。
只有远处沙丘上，一个身影缓缓走来。
来者是个中年男人，穿着朴素的白衬衫，戴眼镜，手里拿着一本老旧的笔记本。他看起来不像火星探险者，倒像是……
「吴老师？」小 M 惊讶地站直。
「小 M，好久不见。」男人微笑，然后看向小 L，「也谢谢你，小 L 同学。我是这个题库最初的编写者之一。」
小 L 愣住了：「您是……吴明理老师？」
「虚拟形象而已。」男人摆摆手，「我的真实意识早就……不重要了。重要的是，你修复了我当年留下的一个错误。」
他走向控制台，抚摸着全息屏幕：「1998 年，我们编写这个题库时，想设计一道终极题目，涵盖网络流所有高级技巧：拆点、分层、时间序列、多约束优化。但我们犯了点错误，加入的条件在数学上冲突了。」
「那为什么不修改？」小 L 问。
「因为骄傲。」吴老师苦笑，「那时觉得，承认错误太难。我们只是悄悄撤下了这道题，但在系统底层的测试数据里，它一直存在。后来题库电子化，这个错误被一起打包进来，成了隐藏的『第 24 题』。」
他转向小 L：「你知道为什么连续错误提交 23 次会触发隐藏模式吗？」
小 L 摇头。
「因为 23，是我当年的合作者王致远老师的幸运数字。我们设置这个机制，希望有一天，一个真正执着的学生能发现这个错误，然后，」吴老师顿了顿，「然后替我们完成当年没完成的事，即创造一道真正完美的最终题。」
小 L 看向自己刚修改的题面。时间分层图在屏幕上缓缓旋转，数据流沿着时间轴流动，像一条发光的河。
「你做到了，」吴老师的声音温和，「你用更现代的技巧——时间分层图——解决了我们那个年代的思维局限。这道题现在名副其实了。它确实需要综合运用网络流的所有高级建模思想。」
小 M 小声问：「那系统崩溃……」
「已经稳定了。你的修改不仅修复了 T24，还优化了整个题库的逻辑结构。看。」吴老师挥手，24 个窗口全部亮起。
每个窗口里的场景都在流畅运行：飞行员完成配对，圆桌会议顺利举行，星际车队高效运输，骑士在棋盘上找到共存方案……
「有时候，」吴老师合上笔记本，「一道错题的修正，能让整个系统变得更好。其实，我们都在修正前人的错误，也在为后人铺路。」
倒计时停在 00:01:12。
「你该回去了，小 L。省选联考，还有……」吴老师看了看虚拟时钟，「六小时开始。」
「等等，我还有个问题。」小 L 看向手环，「这些算法工具，为什么我能在虚拟世界里用代码改变物理规则？」
吴老师笑了：「因为在计算机的世界里，算法就是最根本的信息法则。你早就知道这一点，不是吗？在深夜的屏幕前，一行行代码设计算法、建立模型、求解问题。那就是你在你的世界里，施展的魔法。」
信息学竞赛，说到底，不就是用代码与逻辑，在无数个由 0 和 1 构成的世界里，做那个修正错误、建立秩序的骑士吗？
白光再一次亮起。
这次很柔和，像清晨的阳光。
小 L 睁开眼，听到的只是母亲催他吃早饭的声音。
省选考场上，小 L 打开试卷 PDF。
分析了一会题面，T3 果然是网络流。他快速读着题面，图论建模方式几乎和那晚的 #24 如出一辙。
他笑了。手指在键盘上敲下熟悉的开头：
struct Edge {int to, nxt, cap;
} e[M * 2];
时间一分一秒过去。他建图、设源汇、写 Dinic。当写到 DFS 增广函数时，他的手指停顿了一瞬。
光标停在那行关键代码的位置。
他想起那个红色的火星，想起那些原地打转的机器人，想起小 M 说「算法是这个世界的规则」，想起吴老师合上笔记本时的微笑。
然后他敲下：
for (int i = now[u]; i and flow; i = e[i].nxt)
i and flow。「我」与「网络流」。
屏幕的光映在眼镜片上，代码像流水一样继续向下展开。他不再去拼正解，只是让那些深夜练过千百遍的算法，自然地流淌出来，就像河流知道该往哪里去。
省队选拔赛结束后的第一个周六，理应是学校组织上机训练的日子。早上六点五十，机房的灯是开的。小 L 推开了门，里面的人竟全都到齐了。
小 G 蜷在最靠里的座位上睡觉，校服盖着头，屏幕还亮着，显示着省选成绩公示网页。他的名次高居第二，旁边扔着个吃空的面包袋。
小 M 坐在靠窗的老位置，面前摊着本厚厚的《具体数学》，但目光望着窗外发呆，眼圈有点红。她卡在了全省第十三，刚好比省队线低一名。
空气里有熟悉的灰尘味，还有一丝挥之不去的、属于周末的疲惫。
小 L 没出声，轻轻走到自己位置。桌面和他上周五匆匆离开时一样，摊着那本《网络流 24 题》的打印稿。他下意识地翻到最后一页，那道被反复圈画的《机器人路径规划问题》旁，一片空白。
他的手指无意识地敲了敲桌面。
省选最后一道压轴题，一道复杂的资源调度问题。读完题的那三分钟里，考场安静得能听见自己的心跳。许多选手皱起了眉，那题看起来像是最短路和贪心的混合体，条件枝蔓丛生。
但小 L 看着「限制」「时间」这些关键词，几乎是在本能反应下，手指已经在草稿纸上画出了第一个分层图的框架。源点、汇点、k 个时间层、层与层之间的等待边……思路流畅得不像是在面对陌生的考题，倒像是把一篇早已在心中修改过无数次的文章重新誊写出来。
其实，那二十分钟里，他忘了是在省选赛场，忘了隔壁选手敲击键盘的声音，也忘了自己离省队线还有多少分差。他只是专注地将那个火星沙丘上虚拟推演过的模型，一丝不苟地翻译成代码，并小心地对着拍。
那道题，全省只有不到十个人满分。就是这关键的 100 分，把他送进了省队。
「发什么呆呢？」略带沙哑的声音响起。小 G 不知什么时候醒了，正拿着保温杯喝水，眼睛瞟向小 L 桌上摊开的《网络流 24 题》。
「想起省选那道题。」小 L 回过神。
「哦，那题啊。」小 G 在屏幕上点了几下，调出自己的代码，「我也用的分层图。你是不是也在最后加了一层『缓冲汇点』，用来处理那些时间窗口结束前没送达的流量？」
小 L 点头。两人就着屏幕上的代码，简短地交流了几句实现细节。没有激动，就像在讨论昨天晚饭吃了什么。
小 M 也转过头，默默听着，然后轻声说：「我拆点拆多了，TLE，只拿了 60 分。」她的声音很平静，但手指捏着书页的边缘。
小 L 不知该说什么。机房又安静下来。他打开台式机，登录校内 OJ。题库列表里，「网络流 24 题题单」的图标旁果然有个小小的「已更新」标记。
他点开第 24 题，那熟悉的、曾经折磨他无数个夜晚的题面再次出现。他把自己在省选考场上用过、后来又完善过的解法输了进去。
几秒后，绿色的 Accepted 跳了出来。没有额外提示，朴素的通过标识，运行时显示着「Accepted，106ms」，就和其他千百道普通题目一样。
他靠在椅背上，长长地、无声地呼出一口气。那道曾经像一座山横在路上的、被认为是「错题」的 T24，此刻看起来，和他在省选赛场上从容解出的那道题，本质并无不同。都是模型，都是转化，都是用代码构建又打破的约束。
窗外的阳光正好爬上他的键盘，把空格键照得发亮。
机房门又被推开，教练老吴端着保温杯进来，看到他们仨，愣了一下：「这么早？省选刚完，不多睡会儿？」
「睡不着。」小 G 打了个哈欠。
老吴走到小 L 身后，瞥见屏幕上那个 Accepted，又看了看那本打印稿，没多问，只是拍了拍他的肩：「那题啊……能过了就好。」语气里有种了然的平淡。
他走到前面白板前，拿起笔，画了个简单的坐标系，横轴标着「时间」，纵轴标着「理解」。
「省选只是一个点。」老吴的声音平稳，「有人在这个点网络流拿了满分，有人卡了壳。但这不代表终点。后面国赛，可能考你不会的数据结构，可能出你想不到的转化。重要的是，」他转身，看着满屋陆续到来的队员，「这个点之后，你们还愿不愿意继续在这条坐标轴上，往前走。」
小 L 低下头，新建了一个代码文件。他关掉了网络流题库的页面。文件名他打了又删，最后写上：「[NOIP 1998 提高组] 拼数」。这是道老题，和网络流无关，但他记得自己一直没彻底弄懂其中的贪心证明。
他需要一点时间，从那个关于火星、算法和修正错题的幻境里，彻底回到现实。也需要一点时间，把省选赛场上的那份笃定，变成日常训练里更扎实的东西。
键盘声陆续响起，渐渐汇成一片熟悉的白噪音。阳光慢慢移动，漏进机房，照亮了空气中浮动的微尘。
小 L 最后看了一眼那本《网络流 24 题》，把它合上，塞进了书包最里层。然后，他点开新的题目，开始读题。「蔬菜……NOI 的题么？」
新的一天，开始了。
后记：
「网络流 24 题」真实存在，可能是由吴文虎、王建德二人搭建的经典训练题库。
故事中的解题思路和算法描述尽量准确，但做了戏剧化处理。
愿所有在深夜与代码搏斗的学员，都能找到属于自己的「Accepted」。
省选联考 2026 RP++
