龙门考古

很久很久以前，有一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(A\)。

对于 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(P\)，定义 \(F(P)\) 是满足 \(F(P)_x = [a_x = \max\limits_{i=1}^{x} a_i]\) 的 \(01\) 序列。

现在小 Oken 知道了 \(C = F(A)\)，她需要还原排列 \(A\)。

同时，小 Oken 还通过一些特殊手段掌握了 \(A\) 中一些下标对应的数值。

求出在所有 \(2^n\) 种情况中，小 Oken 能还原出的字典序最小的排列恰好是 \(A\) 的方案数。

答案对 \(998244353\) 取模。

\(1 \leq n \leq 10^6\)。

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从小 Oken 的角度出发，考虑她在知道 \(C\) 后对 \(A\) 结构的洞察。

不妨假设小 Oken 已经通过神秘手段确定了所有红点的值，即所有前缀最大值。

此时我们发现，能还原出的字典序最小的排列恰好是 \(A\)，等价于没有确定的位置单调递增。

考虑下面的两个白点：

其中前面的值比后面的大，且这两个值都没有被确定。

显然，我们可以发现下面的情况也是合法的：

也就是说，对于所有没有确定的点，不可能出现前面的值比后面的大的情况。

我们也就说明了，没有确定值的点都是单调递增的。

通过这一点，我们就可以通过特殊性质 \(B\) 了。

你发现特殊性质 \(B\) 中只有第一个点是红点，显然这个问题等价于上升子序列计数。

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你发现上面的这个东西在有红点没有确定时仍然成立。

首先我们需要保证，未选择的红点和黑点分别是单调递增的。

考虑什么样的情况不合法，发现能够交换一前一后的两个点，使得字典序变小。

对于一个未确定的前缀最大值 \(i\)，则不存在另一个未确定的位置 \(j\)，使得：

• \(i < j\)

• \(a_i > a_j\)

• 交换 \(i\) 和 \(j\) 后仍然满足条件

显然这是个充要条件，接下来就应该考虑计数了。

显然每个前缀最大值的未知性都是相互独立的，这点很重要。

不妨假设 \(i\) 后面的前缀最大值为 \(k\)，则 \(j\) 不能介于 \(a_1\) 到 \(a_{k-1}\) 的次大值和最大值之间。

假设我们确定了每个非前缀最大值的选择情况，则每个前缀最大值都会有 \(1\) 或 \(2\) 的系数。

对于所有非前缀最大值进行 dp 转移，可以做到 \(O(n^2)\)。

加个树状数组，变成 \(O(n \log n)\) 是容易的。