深入解析：概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念

概率论的基本概念

一、随机事件

1. 随机试验

定义：满足以下三个条件的试验称为随机试验：

• 行在相同条件下重复进行
• 每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确所有可能结果
• 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

记法：用 $E$表示随机试验

2. 样本空间

定义：随机试验 $E$的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为$\Omega$

例题：掷一枚骰子的样本空间为$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

3. 随机事件

定义：样本空间 $\Omega$的子集称为随机事件，简称事件

分类：

• 基本事件：只含有一个样本点的事件
• 复合事件：涵盖多个样本点的事件
• 必然事件：$\Omega$ 本身
• 不可能事件：空集$\varnothing$

4. 事件间的关系

• 包含关系：$A\subset B$，表示 $A$发生必然导致$B$ 发生
• 相等关系：$A=B$，表示 $A\subset B$ 且 $B\subset A$
• 互斥关系：$A\cap B=\varnothing$，表示 $A$ 与 $B$不能同时发生
• 对立关系：$A\cup B=\Omega$ 且 $A\cap B=\varnothing$，记 $B=\overline{A}$

5. 事件的运算

• 和事件：$A\cup B$，表示 $A$ 与 $B$至少有一个发生
• 积事件：$A\cap B$（简记为 $AB$），表示 $A$ 与 $B$ 同时发生
• 差事件：$A-B$，表示 $A$ 发生而 $B$ 不发生
• 对立事件：$\overline{A}$，表示 $A$ 不发生

运算律：

• 交换律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
• 结合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律：$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$，$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• 德摩根律：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$，$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

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二、频率、概率

1. 频数与频率

定义：

• 频数：事件 $A$ 在 $n$次试验中发生的次数$n_A$
• 频率：$f_n(A)=\frac{n_A}{n}$

2. 频率的基本性质

• $0\le f_n(A)\le 1$
• $f_n(\Omega )=1$
• 若 $A_1,A_2,\cdots ,A_k$两两互不相容，则$f_n\left(\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right)=\sum _{i=1}^k{f}_n(A_i)$

3. 概率的定义和性质

公理化定义：设 $\Omega$为样本空间，$\mathcal{F}$为事件域，若函数$P:\mathcal{F}\to \mathbb{R}$ 满足：

• 非负性：$\forall A\in \mathcal{F},P(A)\ge 0$
• 规范性：$P(\Omega )=1$
• 可列可加性：若 $A_1,A_2,\cdots$两两互斥，则$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$
  则称 $P$为概率测度。

性质：

• $P(\varnothing )=0$
• 有限可加性：若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$两两互斥，则$P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$
• $P(\overline{A})=1-P(A)$
• 若 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

例题：已知 $P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(A\cap B)=0.2$，求 $P(A\cup B)$

解：
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.4-0.2=0.8$$

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三、古典概型

1. 古典概型

定义：若随机试验满足：

• 样本空间只包含有限个元素
• 每个根本事件发生的可能性相同
  则称该试验为古典概型。

计算公式：
$$P(A)=\frac{A\text{具备的基本事件数}}{\Omega \text{中基本事件总数}}$$

2. 几何概型

定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度（长度、面积、体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

计算公式：
$$P(A)=\frac{\text{构成事件}A\text{的区域测度}}{\text{样本空间的区域测度}}$$

例题1（古典概型）：从5白3黑共8个球中任取2个，求取到1白1黑的概率

解：
$$P=\frac{C_5^1{C}_3^1}{C_8^2}=\frac{5\times 3}{28}=\frac{15}{28}$$

例题2（几何概型）：在区间[0,2]上随机取一个数$x$，求 $x^2<2$ 的概率

解：由 $x^2<2$ 得 $0\le x<\sqrt{2}$，
$$P=\frac{\sqrt{2}-0}{2-0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

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四、条件概率

1. 条件概率

定义：在事件 $B$发生的条件下，事件$A$发生的概率称为条件概率，记为$P(A|B)$

计算公式：
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}，其中P(B)>0$$

2. 乘法定理

• $P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$
• 推广：
  $$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$

3. 全概率公式

设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 是样本空间 $\Omega$的一个划分，且$P(B_i)>0$，则对任意事件$A$ 有：
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$

4. 贝叶斯公式

在全概率公式的条件下，若$P(A)>0$，则：
$$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)},j=1,2,\cdots ,n$$

5. 先验概率与后验概率

• 先验概率：$P(B_i)$，试验前根据以往经验和分析得到的概率
• 后验概率：$P(B_i|A)$，在事件 $A$ 发生后对 $B_i$概率的重新评估

例题：某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量分别占25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%。从总产品中任取一件：
(1) 求取到次品的概率
(2) 若取到的是次品，求它是甲车间生产的概率

解：
设 $A$=“取到次品”，$B_1$=“甲车间生产”，$B_2$=“乙车间生产”，$B_3$=“丙车间生产”

(1) 由全概率公式：
$$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)$$
$$=0.25\times 0.05+0.35\times 0.04+0.4\times 0.02=0.0345$$

(2) 由贝叶斯公式：
$$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0.25\times 0.05}{0.0345}\approx 0.3623$$

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五、独立性

1. 两个事件的相互独立性

定义：若 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立

等价条件：

• $P(A|B)=P(A)$（当 $P(B)>0$ 时）
• $P(B|A)=P(B)$（当 $P(A)>0$ 时）

2. 相互独立事件的性质

• 若 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$、$\overline{A}$ 与 $B$、$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也都独立
• 若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$，则 $A$ 与任何事件 $B$ 独立

3. 多个事件的相互独立性

定义：设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是 $n$个事件，假设对任意$k$($2\le k\le n$)和任意 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$，都有：
$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$$
则称 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立。

注意：两两独立不一定相互独立

例题：甲、乙两人独立射击同一目标，命中率分别为0.8和0.7，求：
(1) 两人都命中的概率
(2) 至少一人命中的概率

解：
设 $A$=“甲命中”，$B$=“乙命中”

(1)
$$P(AB)=P(A)P(B)=0.8\times 0.7=0.56$$

(2)
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.56=0.94$$

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历年考题选编

考题1：设 $A,B$为随机事件，且$P(A)=0.5$，$P(B)=0.6$，$P(B|\overline{A})=0.4$，则 $P(A\cup B)=$______

解：
由
$$P(B|\overline{A})=\frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}=\frac{0.6-P(AB)}{0.5}=0.4$$

得 $0.6-P(AB)=0.2$，即 $P(AB)=0.4$

∴
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7$$

考题2：袋中有5个红球、3个白球，从中每次任取一球，取出后不放回，求第二次取到红球的概率

解：
设 $A$=“第一次取红球”，$B$=“第二次取红球”

由全概率公式：
$$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}+\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}$$

考题3：设事件 $A,B$相互独立，且$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，则 $P(A-B)=$______

解：
$$P(A-B)=P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0.3\times (1-0.4)=0.3\times 0.6=0.18$$