二分：二分查找、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置、搜索插入位置、x 的平方根

实际上我们可以证明二分的时候，平均操作次数是最低的：
我们不妨设target等可能出现在每个数上，即每个数是target的可能为1/n.
我们使用k分查找，即将数组分成k叉树。树高为^[log_kn^].
第i层的结点数量为kⁱ.
因此查找次数期望为
$1n∑i=0logkn(i+1)ki\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{log_kn}(i+1)k^i$
然后经过化简可以得到，k取2的时候得最小值。

算法实现

class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target){int left = 0, right = nums.size() - 1, mid = 0;while (left <= right){mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target)return mid;else if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1;}};

在这里插入图片描述

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述

在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

提示：

0 <= nums.length <= 105
-109 <= nums[i] <= 109
nums 是一个非递减数组
-109 <= target <= 109

算法原理

二分查找

既然要求O(logn)的时间复杂度那么就不能用枚举法了。我们直接用二分查找来做。
我们可以将排序数组看成三个区间：
在这里插入图片描述
那么我们现在相当于求绿色区间的左端点和右端点，这需要分开讨论。
先来看左端点：

可以看到我们左端点可以将数组划分成两个区间，左边是<target，右边是>=target。其中我们的begin是右边区间的元素。

因此当我们的mid指向左区间元素时，mid势必不是最终结果。因此令left=mid+1.
但是当mid指向右区间元素时，mid可能是最终结果，因此需要保留令right=mid。

这时候也意味着我们取中点mid=left+(right-left)/2，必须向下取整。
这是个相当显然的事实。例如区间为[1,3]target=3.如果采取向上取整的算法求中点，我们可以算得mid=1.于是right和left不变。继续求的mid＝1.就进入了死循环。

接下来看求右端点：
在这里插入图片描述

同样的我们的右端点把区间分成<=target和>target.
当mid落在左区间时有可能是最终结果，因此left=mid。
当mid落在右区间时，势必不可能为最终结果，因此right=mid-1.
这时候我们自然要采取向上取整的方式求中点，理由同上。

简而言之，当左区间有可能是最终结果时，我们要确保取中点时有向右区间的趋势，因此向上取整；当右区间有可能是最终结果时，我们要确保取中点时有向左区间的趋势，因此向下取整。

算法实现

class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target){//处理边界if (!nums.size())return { -1,-1 };int left = 0, right = nums.size() - 1, begin = 0, mid = 0;//找左边界while (left < right){mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}if (nums[right] != target)return { -1,-1 };begin = left;left = 0;right = nums.size() - 1;//找右边界while(left<right){mid = left + (right - left + 1) / 2;if (nums[mid] > target)right = mid - 1;elseleft = mid;}return { begin,right };}};

搜索插入位置

题目描述

搜索插入位置
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

提示:

1 <= nums.length <= 104
-104 <= nums[i] <= 104
nums 为无重复元素的升序排列数组
-104 <= target <= 104

算法原理

二分查找

根据题目，我们知道我们要找的是第一个>=target的元素的位置。
即将数组化成成<target和>=target的两个区间，而我们要求右区间的左端点。参考上一题的求左端点算法即可.

算法实现

class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target){if (target > nums.back())return nums.size();int left = 0, right = nums.size() - 1, mid = 0;while (left < right){mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] >= target)right = mid;elseleft = mid + 1;}return right;}};

x 的平方根

题目描述

x 的平方根
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。

由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：

输入：x = 4
输出：2

示例 2：

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

提示：

0 <= x <= 231 - 1

算法原理

算法一：枚举法

自1开始枚举各种可能，时间复杂度为O(n)

算法二：二分查找

输入x，相当于我们在[1,x]区间中找到一个最大的数pow使得pow*pow<=x.
即我们可以将[1,x]划分成两个区间：pow*pow<=x和pow*pow>x。
而我们要找的就是左区间的右端点。参考上上一题算法即可。

算法实现

class Solution {
public:
int mySqrt(int x)
{
int left = 0, right = x, mid = 0;
while (left < right)
{
mid = left + (right - left) / 2 + (right - left) % 2;
if (mid  <= x/mid)
left = mid;
else
right = mid - 1;
}
return left;
}
};