2024年9月GESP真题及题解(C++七级): 小杨寻宝

题目描述

小杨有一棵包含n nn个节点的树，树上的一些节点放置有宝物。

小杨可以任意选择一个节点作为起点并在树上移动，但是小杨只能经过每条边至多一次，当小杨经过一条边后，这条边就会消失。小杨每经过一个放置有宝物的节点就会取得该宝物。

小杨想请你帮他判断自己能否成功取得所有宝物。

输入格式

本题单个测试点内有多组测试数据。输入第一行包含一个正整数t tt，代表测试用例组数。
接下来是t tt组测试用例。对于每组测试用例，一共n + 1 n+1n+1行。

第一行包含一个正整数n nn，代表树的节点数。
第二行包含n nn个非负整数a 1 , a 2 , … a n a_1, a_2, \dots a_na1​,a2​,…an​，其中如果a i = 1 a_i = 1ai​=1，则节点i ii放置有宝物；若a i = 0 a_i = 0ai​=0，则节点i ii没有宝物。
之后n − 1 n - 1n−1行，每行包含两个正整数x i , y i x_i, y_ixi​,yi​，代表存在一条连接节点x i x_ixi​和y i y_iyi​的边。

输出格式

对于每组测试数据，如果小杨能成功取得所有宝物，输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例 1

输入 1

2 5 0 1 0 1 0 1 2 1 3 3 4 3 5 5 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 4 3 5

输出 1

Yes No

说明/提示

样例 1 解释

对于第一组测试用例，小杨从节点2 22出发，按照2 − 1 − 3 − 4 2-1-3-42−1−3−4的顺序即可成功取得所有宝物。

数据规模与约定

对全部的测试点，保证1 ≤ t ≤ 10 1 \leq t \leq 101≤t≤10，1 ≤ n ≤ 10 5 1 \leq n \leq 10^51≤n≤105，0 ≤ a i ≤ 1 0 \leq a_i \leq 10≤ai​≤1，且保证树上至少有一个点放置有宝物。

思路分析

问题本质

这道题的核心是判断树中所有宝物节点是否在一条简单路径上。

关键理解

1. 移动限制：每条边只能走一次，这意味着路径不能有分支，必须是简单路径
2. 需要遍历所有宝物节点：但路径必须是线性的
3. 结论：能成功取得所有宝物 ⇔ 所有宝物节点在一条简单路径上

解决方案

1. 找到宝物节点的直径：

   • 任意选择一个宝物节点作为起点
   • 找到距离该节点最远的宝物节点u
   • 从u出发，找到距离u最远的宝物节点v
   • u和v之间的路径就是宝物节点的直径

2. 检查所有宝物节点是否在路径u-v上：

   • 对于任意节点i，如果它位于路径u-v上，则满足：
     • dist(u,i) + dist(i,v) = dist(u,v)
   • 因此只需要检查每个宝物节点是否满足这个条件

算法步骤

1. 建树（邻接表）
2. 找到任意一个宝物节点作为起点
3. 两次DFS求宝物节点的直径端点u和v
4. 检查所有宝物节点是否在路径u-v上

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintN=1e5+10;// 最大节点数// 邻接表存储树vector<int>g[N];// a[]: 记录每个节点是否有宝物// d1[]: 记录从节点u到其他节点的距离// d2[]: 记录从节点v到其他节点的距离inta[N],d1[N],d2[N];intn;// 节点数intu,v;// 宝物节点直径的两个端点intmx;// 记录当前搜索中的最远距离/* DFS计算距离 * u 当前节点 * fa 父节点（避免回环） * dist 从起点到当前节点的距离 * d[] 距离数组，记录从起点到每个节点的距离 * * 同时更新最远的宝物节点 */voiddfs(intu,intfa,intdist,intd[]){d[u]=dist;// 记录距离// 如果当前节点有宝物，且距离比当前最远距离更大if(a[u]&&dist>mx){mx=dist;// 更新最远距离v=u;// 记录最远节点（参数v是全局变量，会被修改）}// 遍历所有邻居节点for(intx:g[u]){if(x!=fa){// 避免回到父节点dfs(x,u,dist+1,d);}}}//solve函数：处理单个测试用例voidsolve(){cin>>n;// 初始化：清空邻接表，读取宝物信息for(inti=1;i<=n;i++){cin>>a[i];g[i].clear();}// 建立树的邻接表for(inti=1;i<n;i++){intx,y;cin>>x>>y;g[x].push_back(y);g[y].push_back(x);}// 找到第一个宝物节点作为起点ints=1;while(s<=n&&!a[s])s++;// 题目保证至少有一个宝物节点，所以s一定存在// 第一步：从s出发，找到最远的宝物节点umx=-1;// 初始化最远距离dfs(s,0,0,d1);// 计算从s到所有节点的距离u=v;// v现在是最远的宝物节点// 第二步：从u出发，找到最远的宝物节点v// 此时u-v的路径就是宝物节点的直径mx=-1;dfs(u,0,0,d1);// 重新计算从u到所有节点的距离，记录在d1中intt=v;// v现在是另一个端点，暂存为t// 第三步：从t出发，计算到所有节点的距离，记录在d2中dfs(t,0,0,d2);// 检查所有宝物节点是否在u-t路径上for(inti=1;i<=n;i++){if(a[i]){// 只检查宝物节点// 判断节点i是否在路径u-t上：// 如果dist(u,i) + dist(i,t) == dist(u,t)，则i在u-t路径上if(d1[i]+d2[i]!=d1[t]){cout<<"No\n";return;}}}cout<<"Yes\n";}intmain(){// 优化输入输出ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);intT;// 测试用例组数cin>>T;while(T--){solve();}return0;}

功能分析

核心算法：树直径法判断共线性

1. 第一次DFS：从任意宝物节点找到最远的宝物节点u
2. 第二次DFS：从u找到最远的宝物节点v，确定宝物节点的直径
3. 第三次DFS：计算所有节点到v的距离
4. 验证：检查每个宝物节点是否在u-v路径上

关键性质

• 如果所有宝物节点在一条简单路径上，那么这条路径一定是宝物节点形成的"子图"的直径

• 对于树上的三个点u, i, v，点i在u-v路径上当且仅当：

  dist(u,i) + dist(i,v) = dist(u,v)

时间复杂度

• 每次DFS: O(n)
• 三次DFS: O(3n) = O(n)
• 总复杂度: O(t*n)，其中t≤10，n≤10 5 10^5105

空间复杂度

• 邻接表: O(n)
• 距离数组: O(n)
• 总复杂度: O(n)

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