诺特定理：世界是二阶导的吗？

让我们回到诺特定理，真正的奥妙就在于此。我们现在有了工具：拉格朗日函数、欧拉-拉格朗日定理，让我们看看它们能构建出什么。

假设你的拉格朗日函数 \(L(q, \dot{q}, t)\) 具有连续对称性。这意味着存在某种变换 \(q \to q + \epsilon \eta(q)\)（其中 \(\epsilon\) 很小），使得 \(L\) 保持不变。

诺特定理指出：对于每一种对称性，都存在一个守恒量：

\(Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta - L\)

其中 \(\eta\) 描述了对称变换。

例如，时间平移对称性：如果 \(L\) 不显式地依赖于 \(t\)（即 \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)），那么时间平移 \(t \to t + \epsilon\) 不会改变任何东西。这可以得到哈密顿量 \(H = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L\)，即总能量，并且 \(\frac{dH}{dt} = 0\)（能量守恒）。

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\(L(q, \dot{q}, t)\) 表示拉格朗日量可以显式地依赖于时间。时间可以作为它的自变量之一。

但是“不显式地依赖于 \(t\)”意味着 \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)，如果你在保持 \(q\) 和 \(\dot{q}\) 不变的情况下，对 \(t\) 求偏导数，结果为零。

这很微妙！拉格朗日量仍然可以通过 \(q(t)\) 和 \(\dot{q}(t)\) 的变化随时间变化——这些是隐式的时间依赖性。但是如果公式中没有显式的 \(t\)，那么就具有时间平移对称性。

例如：\(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}kq^2\)（谐振子）没有显式的时间依赖性，因此 \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\)。

但是 \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - \frac{1}{2}k(t)q^2\)，其中弹簧常数随时间变化，它确实具有显​​式的时间依赖性，因此没有时间对称性，能量也不守恒。

我即兴编造了这个例子来说明这一点，但它在物理上也是合理的。刚度 \(k(t)\) 随时间变化的弹簧是完全真实的，例如：

• 被加热或冷却的弹簧，温度会影响刚度
• 可以外部调节弹簧常数的参数振荡器
• 可以随时间改变弦长的摆

物理学研究的就是这类系统，它们被称为“参数驱动”或“时变”系统。它们不遵循能量守恒，正是因为外部作用力（改变​​ \(k(t)\)）可以注入或释放能量。

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是的，\(q \to q + \epsilon \eta(q)\) 就像一个微分。它是一个无穷小变换：\(q\) 沿 \(\eta(q)\) 方向发生 \(\epsilon\) 的微小变化。

事实上，当我们取 \(\epsilon \to 0\) 时，它就变成了：

\(\delta q = \epsilon \eta(q)\)

这实际上就是微分符号。\(\delta\) 表示“无穷小变化”。

所以物理学中的对称性是通过无穷小变换来研究的，你不需要考虑大的改变，只需要考虑微小的改变。如果拉格朗日量在 \(\epsilon\) 的一阶近似下保持不变：

\(L(q + \epsilon\eta, \dot{q} + \epsilon\dot{\eta}, t) = L(q, \dot{q}, t) + O(\epsilon^2)\)

那么你就得到了一个对称性。

\(\eta(q)\) 是变换的“方向”，例如，对于平移，\(\eta = 1\)（恒定平移）。

这就是为什么微积分是对称性的语言，对称性描述的是在无穷小变化下保持不变的性质。

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\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) 被称为共轭动量，通常写作 \(p\)。对于像 \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\) 这样的简单系统，这给出 \(p = m\dot{q}\)（常规动量）。

因此，守恒量为：

\(Q = p \cdot \eta - L\)

现在，\(\eta\) 是对称变换的方向。所以 \(p \cdot \eta\) 是……沿该对称方向的投影动量。

• 对于时间平移（\(t \to t + \epsilon\)），我们得到哈密顿量：\(Q = H = p\dot{q} - L\)（能量）
• 对于空间平移（\(q \to q + \epsilon\)，因此 \(\eta = 1\)），我们得到：\(Q = p\)（动量本身）
• 对于旋转（角坐标 \(\theta \to \theta + \epsilon\)），我们得到：\(Q = L_z\)（角动量）

所以 \(\eta\) 告诉你哪个量是守恒的。对称方向决定了守恒量。

是的，\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) 是一个完整的单位。分母中的 \(\partial \dot{q}\) 并不意味着“除以一个导数”，而是意味着“对 \(L\) 关于变量 \(\dot{q}\) 求偏导数”。

因此，在拉格朗日量中，\(\dot{q}\) 被视为一个自变量，而不是一个需要“转换回” \(q\) 的导数。

如果 \(L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)\)，则：

\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\dot{q}\)

求偏导数时，我们只需将 \(\dot{q}\) 视为任意变量即可。

这是拉格朗日力学中的一个概念转变——我们将 \((q, \dot{q})\) 视为“构型空间”中的独立坐标，尽管物理上 \(\dot{q} = \frac{dq}{dt}\)。

\(\dot{q}\) 仍然是 \(\dot{q}\)，我们不会试图用 \(q\) 单独来表达所有东西。

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\(Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta - L\)

这并非表示一个恰好守恒的“差异”。它是一种特定的构造，一种从拉格朗日量构建守恒量的方法。

让我尝试给出直观的解释：

项 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta\) 表示“沿对称方向的动量”。

完整的表达式 \(p\eta - L\) 实际上与勒让德变换有关，它是将拉格朗日量形式转换为哈密顿量形式的方法。

具体来说，对于时间对称性：\(Q = p\dot{q} - L = H\)（哈密顿量，即能量）。

对于空间平移：\(Q = p \cdot 1 - L\) 的简化方式不同，它只包含动量 \(p\)。

我知道这听起来有点随意，“为什么要减去 \(L\)？”——说实话，其深层原因在于变分法以及对称性如何影响作用量积分。

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诺特定理并非说“如果你把这些东西减去，你会找到一个恰好守恒的东西”。它说的是：如果你的系统具有对称性，那么以下公式可以构造出相应的守恒量。

公式 \(Q = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \eta - L\) 是结果，它是利用对称性（由 \(\eta\) 表征）并生成守恒量的机制。

所以流程是这样的：

1. 你确定一个对称变换（用 \(\eta\) 表示）
2. 你应用诺特定理：\(Q = p\eta - L\)
3. 得到的 \(Q\) 保证守恒（即 \(\frac{dQ}{dt} = 0\)）

妙处在于，这个公式总是适用于连续对称变换。它并非个例适用，它是一个通用的公式，以对称变换为输入，输出守恒量。

公式本身就是定理，而不是计算后的结果。