基于FPGA的一维序列三次样条插值算法verilog实现,包含testbench

 

1.前言

三次样条插值是一种在数据拟合和信号处理中广泛应用的技术，它通过构造分段三次多项式来逼近给定的离散数据点，确保整个插值函数在节点处具有连续的一阶和二阶导数，从而获得平滑的插值结果。在 FPGA 实现中，由于其并行计算和硬件加速的特性，能够高效处理实时性要求高的插值任务。

2.算法运行效果图预览

(完整程序运行后无水印)

3.算法运行软件版本

vivado2019.2

4.部分核心程序

（完整版代码包含中文注释和操作步骤视频）

//p1 = M4(i,1)  *(X(i+1)-x(t))^3/(6*h4(i));
wire signed[31:0]tmp1_1,tmp1_2,tmp1_3,tmp1_4;
mult1 mult1_u1(.A(M4_ia),           .B(16'd16+X_ia - xta),        .P(tmp1_1));
mult1 mult1_u2(.A(16'd16+X_ia - xta),      .B(16'd16+X_ia - xta), .P(tmp1_2));
mult1 mult1_u3(.A(tmp1_1[17:2]),   .B(tmp1_2[17:2]),   .P(tmp1_3));
mult1 mult1_u4(.A(6),               .B(h4a),             .P(tmp1_4));
reg signed[31:0]p1s;
35_008m

5.算法仿真参数

16;//插值倍数

6.算法理论概述

1. 三次样条函数的表达式

对于每个子区间 [xᵢ,xᵢ₊₁]，三次样条函数可表示为：

Sᵢ(x) = aᵢ + bᵢ(x-xᵢ) + cᵢ(x-xᵢ)² + dᵢ(x-xᵢ)³

其中，aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ为待定系数，需要根据插值条件和连续性条件确定。

2. 插值条件约束

由插值条件 Sᵢ(xᵢ)=yᵢ，可得：

aᵢ = yᵢ

由 Sᵢ(xᵢ₊₁)=yᵢ₊₁，代入 x=xᵢ₊₁得：

yᵢ₊₁ = aᵢ + bᵢhᵢ + cᵢhᵢ² + dᵢhᵢ³

其中 hᵢ = xᵢ₊₁ - xᵢ，为区间长度。

3. 一阶导数连续性条件

计算一阶导数：

Sᵢ’(x) = bᵢ + 2cᵢ(x-xᵢ) + 3dᵢ(x-xᵢ)²

在节点 xᵢ₊₁处，左导数 Sᵢ’(xᵢ₊₁) 应等于右导数 Sᵢ₊₁’(xᵢ₊₁)，即：

bᵢ + 2cᵢhᵢ + 3dᵢhᵢ² = bᵢ₊₁

4. 二阶导数连续性条件

计算二阶导数：

Sᵢ''(x) = 2cᵢ + 6dᵢ(x-xᵢ)

在节点 xᵢ₊₁处，左二阶导数 Sᵢ''(xᵢ₊₁) 应等于右二阶导数 Sᵢ₊₁''(xᵢ₊₁)，即：

2cᵢ + 6dᵢhᵢ = 2cᵢ₊₁

化简得：

cᵢ + 3dᵢhᵢ = cᵢ₊₁

5. 引入二阶导数变量

令 Mᵢ = S''(xᵢ)，即节点 xᵢ处的二阶导数值，则在区间 [xᵢ,xᵢ₊₁] 内：

Sᵢ''(x) = Mᵢ + 6dᵢ(x-xᵢ)

当 x=xᵢ时，Sᵢ''(xᵢ)=Mᵢ，故 2cᵢ = Mᵢ，即 cᵢ = Mᵢ/2

当 x=xᵢ₊₁时，Sᵢ''(xᵢ₊₁)=Mᵢ₊₁，故 2cᵢ + 6dᵢhᵢ = Mᵢ₊₁，代入 cᵢ得：

Mᵢ + 6dᵢhᵢ = Mᵢ₊₁

解得：dᵢ = (Mᵢ₊₁ - Mᵢ)/(6hᵢ)

6. 推导一阶导数系数

由 Sᵢ(xᵢ₊₁)=yᵢ₊₁，代入 aᵢ=yᵢ，cᵢ=Mᵢ/2，dᵢ=(Mᵢ₊₁ - Mᵢ)/(6hᵢ) 得：

yᵢ₊₁ = yᵢ + bᵢhᵢ + (Mᵢ/2) hᵢ² + [(Mᵢ₊₁ - Mᵢ)/(6hᵢ)] hᵢ³

化简得：

bᵢ = (yᵢ₊₁ - yᵢ)/hᵢ - (Mᵢhᵢ)/2 - (Mᵢ₊₁ - Mᵢ) hᵢ/6

7. 构造线性方程组

由一阶导数连续性条件 bᵢ + 2cᵢhᵢ + 3dᵢhᵢ² = bᵢ₊₁，代入 bᵢ、cᵢ、dᵢ表达式：

[(yᵢ₊₁ - yᵢ)/hᵢ - (Mᵢhᵢ)/2 - (Mᵢ₊₁ - Mᵢ)hᵢ/6] + 2*(Mᵢ/2)hᵢ + 3[(Mᵢ₊₁ - Mᵢ)/(6hᵢ)]*hᵢ² = (yᵢ₊₂ - yᵢ₊₁)/hᵢ₊₁ - (Mᵢ₊₁hᵢ₊₁)/2 - (Mᵢ₊₂ - Mᵢ₊₁)hᵢ₊₁/6

化简后得到：

hᵢMᵢ + 2 (hᵢ + hᵢ₊₁) Mᵢ₊₁ + hᵢ₊₁Mᵢ₊₂ = 6 [(yᵢ₊₂ - yᵢ₊₁)/hᵢ₊₁ - (yᵢ₊₁ - yᵢ)/hᵢ]

这是一个关于 Mᵢ的三对角线性方程组，需要结合边界条件求解。