数据结构入门：时间复杂度与排序和查找

数据结构入门：时间复杂度与排序和查找 - 详解

一、时间复杂度

1.1定义

时间复杂度是算法执行次数（y）和数据总量（n）的关系，反映算法 “效率趋势”（不是具体执行时间）。

例：

y = a————>y=1————>O（1）算法的执行次数与数据总量无关

y = an+b————>y=n————>O（n）

y = logan————>y=logn————>O（logn）

y = an²+bn+c————>y=n²————>O（n²）

效率排序：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)

1.2真题练手

例题1：

int sum=0;
for(int i=1;i


分析：
外层循环：i从 1 开始，每次 ×2，直到i≥n，执行次数是 log2n（比如 n=8 时，i=1、2、4，共 3 次）；
内层循环：每次执行i次（i=1 时执行 1 次，i=2 时执行 2 次，…，i=2^k 时执行 2^k 次）；
总执行次数：1+2+4+…+2log2n−1=2log2n−1=n−1；
时间复杂度：O(n)。
例题2：
int i=0;
while(i*i <=n)i++;
分析：
循环结束条件是i² >n，即i>√n，执行次数约为 ；
时间复杂度：O（√n）
例题3：
count=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)for(j=1;j<=n;j++)count++;
分析：
外层循环：k从 1 开始，每次 ×2，直到k>n，执行次数是 log2n（比如 n=8 时，k=1、2、4、8，共 4 次）；
内层循环：每次固定执行n次；
总执行次数：log2n×n=nlog2n；
时间复杂度：O(nlogn)（对应选项 C）。
二、查找算法：从 “暴力” 到 “高效”
计算机 80% 的操作是 “查找”，两种常见方式对比：
2.1无序数组查找（暴力遍历）
比如数组[5,7,4,2,0,3,1,6]找 “4”：
只能从头到尾遍历，最坏情况执行 n 次；
时间复杂度：O(n)。
2.2折半查找（二分查找，仅适用于有序数组）
比如有序数组[0,1,2,3,4,5,6,7]找 “4”：
步骤：先查中间位mid=3（对应值 3），比 4 小，再查右半部分的中间位mid=5（对应值 5），比 4 大，最后查中间位 4（找到目标）；
执行次数：log2n（n=8 时执行 3 次）；
时间复杂度：O(logn)。
三、排序算法：不同算法的效率差异
要想用折半查找，得先把数组排序 —— 看几个经典排序的逻辑和复杂度。
3.1冒泡排序（O(n2)）
核心逻辑：前后元素对比，大的往后 “冒泡”。比如数组[4,2,0,3,1,5,6,7]：
第 1 轮：对比 (4,2)→交换，(4,0)→交换，…，最大的 “7” 移到末尾；
第 2 轮：对比剩下的元素，第二大的 “6” 移到倒数第二位；
最坏情况执行次数：1+2+…+(n−1)=n(n−1)/2；
时间复杂度：O(n2)。
3.2简单选择排序（O(n2)）
核心逻辑：每轮找最小值，和待排序部分的第一个元素交换。比如数组[0,1,2,3,5,4,7,6]：
第 1 轮：找最小的 “0”，和第一个元素交换（已在正确位置）；
第 2 轮：找剩下的最小 “1”，和第二个元素交换；
无论数组是否有序，都要遍历找最小值，执行次数约n2/2；
时间复杂度：O(n2)。
3.3新增：插入排序（O(n2)）
核心逻辑：把数组分成 “已排序部分” 和 “未排序部分”，每次从未排序部分取第一个元素，插入到已排序部分的合适位置（类似打扑克时整理手牌）。
举个例子，数组[4,2,0,3,1,5,6,7]：
第 1 轮：已排序部分是[4]，取未排序的2，插入后变成[2,4]；
第 2 轮：已排序部分是[2,4]，取未排序的0，插入后变成[0,2,4]；
第 3 轮：取未排序的3，插入到2和4之间，变成[0,2,3,4]；
…… 直到所有元素插入完成。
最好情况：数组已经有序，每次插入只需要比较 1 次，总执行次数是n，时间复杂度O(n)；
最坏情况：数组逆序，第i个元素需要比较i次（比如第 2 个元素比较 2 次，第 3 个比较 3 次…），总执行次数是1+2+…+(n−1)=n(n−1)/2，时间复杂度O(n2)；
平均情况：时间复杂度也是O(n2)。
3.4 希尔排序（介于O(nlogn)和O(n2)）
核心逻辑：按 “间隔” 分组排序，逐步缩小间隔，最后用直接插入排序收尾。比如数组[5,7,4,2,0,3,1,6]（长度 8）：
第 1 轮：间隔 = 4，分成 4 组(5,0)、(7,3)、(4,1)、(2,6)，组内排序后得到[0,3,1,2,5,7,4,6]；
第 2 轮：间隔 = 2，分成 2 组(0,1,5,4)、(3,2,7,6)，组内排序后得到[0,2,1,3,4,6,5,7]；
第 3 轮：间隔 = 1，直接插入排序得到有序数组；
时间复杂度：和间隔选择有关，通常介于O(nlogn)和O(n2)之间。