四边形不等式相关

四边形不等式

我们称一个二元函数 \(w(i, j)\) 满足四边形不等式，当且仅当对于任意 \(a \le b \le c \le d\) 满足：

\[w(a, c) + w(b, d) \le w(a, d) + w(b, c) \]

即交叉小于包含。

其可以用来对转移进行优化，具体的，设：

\[f(i) = \min_{j \le i} w(j, i) \]

定义 \(\operatorname{opt}(i)\) 表示计算 \(f(i)\) 时最优的那个决策点 \(j\)，称其满足决策单调性当且仅当对于任意 \(i < j\) 满足 \(\operatorname{opt}(i) \le \operatorname{opt}(j)\)。

性质 \(1\)：

若 \(w(i, j)\) 满足四边形不等式，则 \(f(i)\) 满足决策单调性。

考虑反证法，若存在 \(i < j\) 且 \(x = \operatorname{opt}(i) > y = \operatorname{opt}(j)\)，那么根据定义有 \(w(x, j) \ge w(y, j), w(y, i) \ge w(x, i)\)，于是 \(w(x, j) + w(y, i) \ge w(y, j) + w(x, i)\)，违反了四边形不等式，于是得证。

性质 \(2\)：

如果对于任意 \(i, j\) 满足 \(w(i, j) + w(i + 1, j + 1) \le w(i, j + 1) + w(i + 1, j)\)，那么 \(w\) 满足四边形不等式。

证明比较显然，考虑 \(w(i + 1, j) + w(i, j + 1) - w(i, j) - w(i + 1, j + 1) \ge 0\)，这表示 \(w\) 的二维差分矩阵非负；于是考察其二维差分矩阵上一个子矩阵 \((b + 1, d + 1), (a, c)\) 的和必然也非负，即 \(w(a, d) - w(a, c) - w(b, d) + w(b, c) \ge 0\)，这是四边形不等式的定义。

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上面那个决策单调性太特殊了，只对 \(f(i) = \min w(j, i)\) 生效，感觉没有什么实际用途，一般都是这种问题：将序列分段使得权值最小，即：

\[f(i) = \min_{j \le i} f(j - 1) + w(j, i) \]

这种怎么办？考虑：

性质 \(3\)：

若 \(w(i, j)\) 满足四边形不等式，则 \(w(i, j) = x_i + y_j\) 也满足。

这是显然的，带入进去把 \(x, y\) 都消掉了。

于是只需要 \(w(i, j)\) 满足四边形不等式，则上面 \(f(i)\) 的转移也满足决策单调性。

如果强制钦定了要分 \(k\) 段，可以根据情况使用 wqs 二分或者多加一维解决。

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考虑 \(w(l, r)\) 可能是 \(\sum_{l \le i \le j \le r} c(i, j)\) 的形式：

性质 \(4\)：

若 \(c(i, j) \ge 0\)，则 \(w(l, r) = \sum_{l \le i \le j \le r} c(i, j)\) 满足四边形不等式。

考虑证明 \(w(x, y) + w(x + 1, y + 1) \le w(x, y + 1) + w(x + 1, y)\)，考虑拆贡献 \(x + 1 \le i \le j \le y\) 的 \((i, j)\) 对两边贡献是相同的，然后左边是 \(\sum_{i = x, j \in [x, y]} c_{i, j} + \sum_{i \in [x + 1, y + 1], j = y + 1} c_{i, j}\)，然后右边 \(w(x, y + 1)\) 去掉 \(x + 1 \le i \le j \le y\) 的 \((i, j)\) 后是 \(\sum_{i = x,j \in [x, y + 1]} c(i, j) + \sum_{i \in [x, y + 1], j = y + 1} c(i, j)\)，于是右边多考虑了 \(c(x, y + 1)\)，得证。

例题

P1880 [NOI1995] 石子合并

考虑区间 dp，定义 \(dp(l, r)\) 表示将区间 \([l, r]\) 合并的最小代价，于是有转移：

\[dp(l, r) = (s_r - s_{l - 1}) + \min\limits_{k = l}^{r - 1} (dp(l, k) + dp(k + 1, r)) \]

钦定 \(l\) 固定时，有 \(w(i, j) = dp(l, i) + dp(i + 1, j)\) ，考虑证明 \(w(i, j)\) 满足四边形不等式，你推下式子发现等价于证明 \(dp(i, j)\) 满足四边形不等式。

这里 \(dp(i, j)\) 满足四边形不等式的充要条件是 \(h(i, j) = s_i - s_{j - 1}\) 也满足四边形不等式且满足区间包含单调性，可以对长度数学归纳发得到。

然后你发现上面固定右端点 \(r\) 时也有决策单调性，于是有 \(\operatorname{opt}(l, r) \in [\operatorname{opt}(l, r - 1), \operatorname{opt}(l + 1, r)]\)，所以这样枚举决策点时间复杂度就是 \(O(n^2)\) 的。

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于是可以得到性质 \(5\)：

设 \(w(l, r)\) 满足四边形不等式且满足区间包含单调性，若 \(dp(l, r) = w(l, r) + \min\limits_{k = l}^{r - 1} (dp(l, k) + dp(k + 1, r))\)，那么 \(dp(l, r)\) 也满足四边形不等式；且固定 \(l\) 或者固定 \(r\) 时都满足决策单调性，即 \(\operatorname{opt}(l, r) \in [\operatorname{opt}(l, r - 1), \operatorname{opt}(l + 1, r)]\)。

类似题目 UVA10304 Optimal Binary Search Tree。

CF868F Yet Another Minimization Problem

考虑 \(c(i, j) = [a_i = a_j]\)，那么 \(w(l, r) = \sum_{l \le i \le j \le r} c(i, j)\) 满足四边形不等式，于是 \(dp\) 时：

\[dp_{i, j} = \min_{k \le i} dp_{k - 1, j - 1} + w(k, i) \]

这个最优决策 \(k\) 具有单调性；考虑用分治与整体二分的思想解决。

即我们定义 \(solve(l, r, kl, kr)\) 表示目前在转移 \([l, r]\) 内的点，其最优决策点在 \([kl, kr]\) 内；那么可以暴力算出 \(mid\) 的最优决策点 \(kmid\)，然后递归到 \(solve(l, mid - 1, kl, kmid), solvew(mid + 1, r, kmid, kr)\)；显然递归层数使用 \(\log n\) 层，且每层 \([kl, kr]\) 的总长度是 \(O(n)\) 级别的，于是单次时间复杂度是 \(O(n \log n)\)。

现在问题在于如何快速算 \(w(l, r)\)，你考虑用类似莫队的走指针方式解决，你发现每次移动的长度是 \(O(len)\) 级别的，于是最终是 \(O(n \log n)\) 次。

总时间复杂度为 \(O(nk \log n)\)。

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P3515 [POI 2011] Lightning Conductor

这题你推一下式子，若对于 \(i\) 的答案是 \(k\)，那么要对于所有 \(j\) 满足：

\[k + h_i \ge h_j + \sqrt{|i - j|} \]

\[k \ge h_j + \sqrt{|i - j}| - h_i \]

于是：

\[k = \lceil\max_{j} h_j + \sqrt{|i - j|} \rceil - h_i \]

考虑怎么算 \(h_j + \sqrt{|i - j|}\)，这里分讨 \(j < i\) 和 \(j > i\) 两种情况算就可以去掉绝对值，然后 \(w(i, j) = \sqrt{i - j}\)，容易发现 \(w\) 满足四边形不等式，于是有决策单调性。

于是分治解决即可，时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。

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P4767 [IOI 2000] 邮局 加强版

显然对于每个设立的邮局，到其距离最近的村庄集合是集合，于是可以设立状态 \(dp_{i, j}\) 表示考虑前 \(i\) 个村庄放了 \(j\) 个邮局的最小代价：

\[dp_{i, j} = \min\limits_{k < i} dp_{k, j - 1} + w(k + 1, i) \]

其中 \(w(l, r)\) 表示在区间 \([l, r]\) 内放一个邮局的最小代价，显然将邮局放在中位数位置最优，于是可以增量递推：

\[w(l, r) = w(l, r - 1) + a_r - a_{\frac{l + r}{2}} \]

你发现 \(w\) 满足四边形不等式，于是我们按照 \(j\) 分层每层分治计算即可，时间复杂度为 \(O(nk \log n)\).

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这里证明一下上面的 \(w\) 满足四边形不等式，即 \(w(i, j) + w(i + 1, j + 1) \le w(i, j + 1) + w(i + 1, j)\)；首先注意到 \([i, j + 1]\) 与 \([i + 1, j]\) 的中位数一样，设为 \(k\)；

那么 \(w(i, j + 1) = w(i + 1, j) + a_k - a_i + a_{j + 1} - a_k = w(i + 1, j) + a_{j + 1} - a_i\)，于是 \(w(i, j + 1) + w(i + 1, j) = 2w(i + 1, j) + a_{j + 1} - a_i\)。

然后根据 \(w\) 的最小性的定义，可以得到 \(w(i, j) \le w(i + 1, j) + a_k - a_i, w(i + 1, j + 1) \le w(i + 1, j) + a_{j + 1} - a_k\)，于是 \(w(i, j) + w(i + 1, j + 1) \le 2w(i + 1, j) + a_{j + 1} - a_i = w(i, j + 1) + w(i + 1, j)\) 得证。

P10861 [HBCPC2024] MACARON Likes Happy Endings

洛谷同步题解。

令 \(s\) 为前缀异或，那么 \(c(i, j) = [s_j \oplus s_{i - 1} = d] \ge 0\)，于是 \(w(l, r) = \sum_{l \le i \le j \le r}\) 满足四边形不等式，于是 \(dp\) 时：

\[dp_{i, j} = \min_{k \le i} dp_{k - 1, j - 1} + w(k, i) \]

然后分治去做，计算 \(w(k, i)\) 可以简单走指针计算，于是时间复杂度是 \(O(nk \log n)\) 的。

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上面那题因为你的代价 \(w'(i, j)\) 是固定的，所以可以分治去算；而本题代价是和之前的 \(dp\) 值相关的，怎么办？