数值方法验证: 制造解方法(Method of Manufactured Solutions,MMS)介绍

Method of Manufactured Solutions（MMS，制造解方法）是一种广泛用于验证偏微分方程（PDE）数值求解器正确性、准确性和收敛阶的系统化技术。它特别适用于缺乏解析解或基准测试问题的情形。

MMS 的核心思想是：

人为构造一个“精确解”（称为 manufactured solution），该解不需要满足原始 PDE。
将这个解代入原始 PDE，从而推导出对应的源项（source term）和边界/初始条件，使得该解成为修改后 PDE 的精确解。
使用数值方法求解这个带有源项的新 PDE。
比较数值解与已知的 manufactured solution，计算误差，并通过网格加密（h-refinement）或时间步长减小（Δt-refinement）来验证收敛阶是否符合理论预期。

这种方法不依赖于物理合理性，只关注数学一致性，因此非常适合代码验证（code verification），而非模型验证（model validation）。

假设原始 PDE 为：
L ( u ) = 0 in Ω , \mathcal{L}(u) = 0 \quad \text{in } \Omega,L(u)=0inΩ,
其中L \mathcal{L}L是微分算子。

MMS 步骤如下：

选择一个光滑函数u mms ( x , t ) u_{\text{mms}}(x,t)umms(x,t)，例如：
u mms ( x , t ) = sin ⁡ ( π x ) cos ⁡ ( t ) u_{\text{mms}}(x,t) = \sin(\pi x)\cos(t)umms(x,t)=sin(πx)cos(t)
（需足够光滑，且在边界上便于处理）
代入原 PDE 算子，得到残差：
R ( x , t ) = L ( u mms ) R(x,t) = \mathcal{L}(u_{\text{mms}})R(x,t)=L(umms)
构造修正后的 PDE：
L ( u ) = R ( x , t ) \mathcal{L}(u) = R(x,t)L(u)=R(x,t)
并设置初始条件u ( x , 0 ) = u mms ( x , 0 ) u(x,0) = u_{\text{mms}}(x,0)u(x,0)=umms(x,0)和边界条件u ∣ ∂ Ω = u mms ∣ ∂ Ω u|_{\partial\Omega} = u_{\text{mms}}|_{\partial\Omega}u∣∂Ω=umms∣∂Ω
用你的数值方法求解该带源项的问题
计算误差范数（如 L2、L∞）：
∥ u num − u mms ∥ \| u_{\text{num}} - u_{\text{mms}} \|∥unum−umms∥
进行网格收敛性分析：对一系列网格尺寸 (h)（如 h, h/2, h/4…）计算误差，拟合斜率，验证是否达到理论收敛阶（如二阶方法应得 slope ≈ 2）

Roache, P. J. (1998).
Verification and Validation in Computational Science and Engineering.
Hermosa Publishers.
→ 首次系统提出 MMS，是该领域的奠基之作。
Knupp, P., & Salari, K. (2003).
Verification of Computer Codes in Computational Science and Engineering.
SIAM.
→ 更数学化地阐述 MMS，包含误差分析和实践指南。
Roy, C. J. (2005).
“Review of code and solution verification techniques for computational simulation.”
Progress in Aerospace Sciences, 41(3–4), 207–235.
→ 综述文章，清晰区分 code verification 与 solution verification，MMS 是核心方法。
Oberkampf, W. L., & Roy, C. J. (2010).
Verification and Validation in Scientific Computing.
Cambridge University Press.
→ 全面覆盖 V&V 理论，第 7–8 章详述 MMS 实施细节。
Steinberg, S., & Roache, P. J. (1985).
“Symbolic manipulation and computational fluid dynamics.”
AIAA Journal, 23(10), 1533–1540.
→ 早期将符号计算与 MMS 结合的范例。
Salari, K., & Knupp, P. (2000).
“Code Verification by the Method of Manufactured Solutions.”
Sandia National Laboratories Report SAND2000-1444.
→ 实用性强，含多个 PDE 示例（扩散、对流、Navier-Stokes 等）。
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