洛谷 P2725：[USACO3.1] 邮票 Stamps ← BFS

news/2026/1/17 22:57:18/文章来源:https://www.cnblogs.com/triwa/p/19497341

【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P2725
https://www.acwing.com/problem/content/1382/

【题目描述】
给一组 n 枚邮票的面值集合和一个上限 k——表示信封上能够贴 k 张邮票。请求出最大的正整数 m，满足 1 到 m 的面值都可以用不超过 k 张邮票表示出来。

【输入格式】
输入的第一行是两个整数，分别代表邮票上限 k 和邮票面值数 n。
自第二行起，除最后一行外，每行有 15 个整数 ai，最后一行的整数个数不超过 15，共有 n 个整数，第 i 个整数代表第 i 种邮票的面值 ai。

【输出格式】
输出一行一个整数代表 m。若 m 不存在请输出 0。

【输入样例】
5 2
1 3

【输出样例】
13

【数据范围】
对于 100% 的数据，保证 1≤k≤200，1≤n≤50，1≤ai≤10^4。

【算法分析】
● 邮票拼凑问题，等价于一个“节点为邮资、边为加一张邮票、边权固定为 1”的无权有向图。

● 邮票拼凑问题的本质是：构造一个以邮资为节点、加一张邮票为边的无权图，通过 BFS 求起点 0 到所有节点的最短路径长度，再筛选出满足路径长度 ≤k 的连续节点序列，其最大值就是答案。

● 邮票拼凑问题的两个核心目标
目标 1：对每个邮资 x，求拼凑出 x 所需的最少邮票张数，记为 cnt[x]。
目标 2：找到从 1 开始的最大连续邮资：第一个无法用 ≤k 张邮票拼凑的 x，其前一个数就是答案。

● 邮票拼凑问题转化为图的最短路径目标
目标 1 转化为求从起点节点 0（邮资 0）到目标节点 x（邮资 x）的最短路径长度，这个长度就是 cnt[x]。起点节点 0 的意义：拼凑邮资 0 需要 0 张邮票，对应路径长度为 0。
目标 2 则是在最短路径的基础上做筛选。筛选出所有满足“最短路径长度 ≤k”的节点 x，找到从 1 开始的最大连续序列。

● 关键等价性证明：
路径长度 = 边数 = 邮票张数；
最短路径长度 = 最少边数 = 最少邮票张数；

【算法代码】
代码中的 N 要取到 1e7，否则有的样例不过。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e7;
int cnt[N+1]; //cnt[x]=min-number of stamps to construct postage x
int val[55]; //Store the face values of n types of vals
int k,n; //num of stamps is k, face value of stamps is nint bfs() {queue<int> q;q.push(0); //To construct postage 0, you need 0 stampscnt[0]=0;while(!q.empty()) {int t=q.front();q.pop();for(int i=0; i<n; i++) {int nxt=t+val[i];if(nxt>=N) continue; //Exceeding postage upper limitif(cnt[nxt]>cnt[t]+1 && cnt[t]+1<=k) {cnt[nxt]=cnt[t]+1;q.push(nxt);}}}for(int i=1; i<N; i++) {if(cnt[i]>k) {return i-1;}}return N-1;
}int main() {memset(cnt,inf,sizeof cnt);cin>>k>>n;for(int i=0; i<n; i++) {cin>>val[i];}cout<<bfs()<<endl;return 0;
}/*
in:
200 14
1 2 4 15 9 31 63 2100 3500 127 255 511 1000 1999out:
682938
*/