AGC060C Large Heap 题解 / 计数 dp

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首先这个东西完全就是一个满二叉树的堆，相当于权值顺序要为一个拓扑，且 \(U\) 在 \(V\) 前面。

而 \(U,V\) 在 \(A+1\) 与 \(B+1\) 层的最左和左右端点。

那么 \(U,V\) 分别是两条最左或最右的链。

而拓扑序的开头一定为 \(1\)，分成两棵树，然后再找一个根再分裂，那么我们只需要考虑存在 \(U,V\) 的树，剩下的随便填即可，那么最主要的就是存在 \(U,V\) 的两棵树的深度。

考虑 dp，设 \(s_i\) 表示深度为 \(i\) 满二叉树拓扑方案数，\(g_{i,j}\) 表示两棵树的深度分别为 \(i,j\) 的方案数，\(f_{i,j}\) 表示概率。

转移的话考虑选择左右那个树。

\[s_i = s_{i-1}^2 C_{2^i-2}^{2^{i-1}-1} \]

\[g_{i,j}=g_{i-1,j} s_{i-1} C_{2^i+2^j-3}^{2^{i-1}-1} + g_{i,j-1}s_{j-1}C_{2^i+2^j-3}^{2^j-1} \]

\[f_{i,j}=\frac{g_{i,j}}{s_is_jC_{2^i+2^j-2}^{2^i-1}} \]

将 \(g_{i,j}\) 代入 \(f_{i,j}\) 并用 \(f\) 表示 \(g\) 化简可得

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}\frac{2^i-1}{2^i+2^j-2} + f_{i,j-1}\frac{2^j-1}{2^i+2^j-2} \]

显然初始时 \(f_{n-A,j}=1\) 其中 \(j\ge n-B\)。