2026.1.17抽象代数考试

1. 是否存在 \(\mathbb{Q}/\Z\) 的有有限指数 (Index) 的真子群 \(H\)?

解 不存在.

设 \(H\le\mathbb{Q}/\Z\) 有有限指数 \(n\), 则 \(n((\mathbb{Q}/Z)/H)=0\), 即 \(forall x\in\mathbb{Q}/Z:n(x+H)=0\), 从而 \(nx\in H\).

故 \(n(\mathbb{Q}/Z)\subseteq H\). 但 \(n(\mathbb{Q}/Z)=\mathbb{Q}/Z\), 所以 \(H=\mathbb{Q}/Z\). \(\square\)

2. 设 \(G\) 是一个有限群, \(\sigma\) 是 \(G\) 上的自同态, \(\sigma(g)=g\) 当且仅当 \(g=e\), 且 \(\sigma^2=Id\). 证明 \(G\) 是 Abel 群.

证明 由 \(\sigma^2=Id\) 知 \(\sigma\) 是双射, 从而是 \(G\) 的自同构.

step1: \(f:G\to G\), \(f(g)=\sigma(g)g^{-1}\) 是双射 (不一定是同态). 由于 \(G\) 有限, 只需说明 \(f\) 为单射.

若 \(\sigma(g)g^{-1}=\sigma(h)h^{-1}\), 则 \(\sigma(h)^{-1}\sigma(g)=h^{-1}g\), \(\sigma(h^{-1}g)=h^{-1}g\), 从而由题目条件知 \(h^{-1}g=e\), 即 \(g=h\).

step2: \(\sigma(g)=g^{-1}\).

对于所有元素 \(g\in G\), 存在 \(x\) 使得 \(g=\sigma(x)x^{-1}\), 所以 \(\sigma(g)=\sigma(\sigma(x)x^{-1})=\sigma(\sigma(x))\sigma(x^{-1})=x\sigma(x)^{-1}=g^{-1}\).

step3: \(G\) 为 Abel 群.

对于所有元素 \(g,h\in G\), \(gh=(h^{-1}g^{-1})^{-1}=\sigma(\sigma(h)\sigma(g))=\sigma(\sigma(h))\sigma(\sigma(g))=hg\).

3. 设 \(G\) 为有限群, \(H\) 为 \(G\) 的真子群, 满足 \(|G|\nmid[G:H]!\). 证明: \(H\) 不为单群.

证明 考虑用 \(G/H\) 表示所有 \(H\) 的左陪集构成的族.

定义 \(\tau_a:G/H\to G/H\), 易验证 \(\tau_a\) 是合理定义的双射, 从而 \(\tau_a\in S_{G/H}\).

构造映射 \(\varphi:G\to S_{G/H}\), \(\varphi(a)=\tau_a\), 则易验证 \(\varphi\) 是同态.