2024年12月GESP真题及题解(C++八级): 树上移动

题目描述

小杨有一棵包含n nn个节点的树，其中节点的编号从1 11到n nn，每个节点的颜色要么是白色要么是黑色，小杨可以任意选择节点s ss和节点t tt并从节点s ss出发移动到节点t tt，移动过程中小杨不能够经过重复节点。

小杨希望自己在至多经过k kk个黑色节点的前提下，经过的总节点数尽可能多，请你帮小杨选择经过最多的节点数是多少。

输入格式

第一行包含两个正整数n , k n,kn,k，代表节点数量和至多经过的黑色节点数。

第二行包含n nn个正整数a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,\dots,a_na1​,a2​,…,an​，代表节点颜色，如果a i = 0 a_i=0ai​=0，代表节点颜色为白色，如果a i = 1 a_i=1ai​=1，代表节点颜色为黑色。

之后n − 1 n-1n−1行，每行包含两个正整数u i , v i u_i,v_iui​,vi​，代表存在一条连接u i u_iui​和v i v_ivi​的边。

输出格式

输出一个正整数，代表最多经过的节点数。

输入输出样例 1

输入 1

5 1 0 0 1 1 1 1 2 2 3 2 5 1 4

输出 1

3

说明/提示

对于全部数据，保证有1 ≤ n ≤ 1000 1\leq n\leq 10001≤n≤1000，0 ≤ k ≤ 1000 0\leq k\leq 10000≤k≤1000，0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 10≤ai​≤1。

思路分析

1. 问题理解：
   在给定的树上寻找一条简单路径（无重复节点），使得路径上黑色节点的数量不超过k，并且路径的节点数尽可能多。

2. 核心思路：

   • 树中任意简单路径由两个端点唯一确定。
   • 枚举每个节点作为路径起点，通过 BFS 计算从该起点到所有其他节点的距离和黑色节点数。
   • 对于每一对起点和终点，检查黑色节点数是否不超过k，并更新最大节点数。

3. 算法步骤：

   • 读取输入，构建树的邻接表。
   • 初始化答案ans = 0。
   • 对每个节点i（作为起点）执行 BFS：
     • 初始化距离数组d和黑色节点计数数组b。
     • 起点i的距离为 0，黑色节点数为c[i]。
     • 使用队列进行 BFS，对于每个访问的节点u，检查从i到u的路径是否满足条件，并更新ans。
     • 对于u的每个未访问邻居v，更新距离和黑色节点数，并入队。
   • 输出ans。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){intn,k;cin>>n>>k;// 读取节点数和允许的最大黑色节点数vector<int>c(n+1);// 节点颜色，c[i] = 0 白色，1 黑色for(inti=1;i<=n;++i){cin>>c[i];}vector<vector<int>>g(n+1);// 邻接表存储树for(inti=0;i<n-1;++i){intu,v;cin>>u>>v;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}intans=0;// 记录答案（最多经过的节点数）// 枚举每个节点作为路径起点for(inti=1;i<=n;++i){vector<int>d(n+1,-1);// d[j] 表示从 i 到 j 的边数（距离）vector<int>b(n+1,0);// b[j] 表示从 i 到 j 路径上的黑色节点数queue<int>q;// 起点初始化d[i]=0;b[i]=c[i];// 路径包含起点，计入其颜色q.push(i);while(!q.empty()){intu=q.front();q.pop();// 当前路径从 i 到 u 的黑色节点数满足条件，更新答案// 经过的节点数 = 距离 + 1if(b[u]<=k){ans=max(ans,d[u]+1);}// 遍历邻居节点for(intv:g[u]){if(d[v]==-1){// 未访问过d[v]=d[u]+1;// 距离增加一条边b[v]=b[u]+(c[v]==1?1:0);// 累加黑色节点数q.push(v);}}}}cout<<ans<<endl;// 输出结果return0;}

功能分析

1. 复杂度：

   • 时间复杂度：O(n²)。每个起点执行一次 BFS，每次 BFS 访问所有节点，共 n 个起点。
   • 空间复杂度：O(n²)。邻接表存储 O(n) 条边，BFS 中使用 O(n) 的临时数组。

2. 注意事项：

   • 路径可以是单个节点（起点等于终点）。
   • 如果没有任何路径满足黑色节点数不超过k，则输出 0。
   • 使用-1标记未访问节点，确保每个节点只被访问一次。

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