深入解析：【计算机视觉（2）】图像几何变换基础篇：从平移旋转到投影变换

文章目录

• • 学习路线图
  • 本文内容一览（快速理解）
  • 一、图像变换是什么（Image Transformation）：理解两种变换类型
  • • 1.1 图像变换的两种类型（Image Filtering vs Image Warping）：滤波改变像素值，变形改变像素位置
  • 二、基本几何变换（2D Geometric Transformations）：平移、旋转、缩放的基础操作
  • • 2.1 什么是几何变换（Parametric (global) warping）：坐标变换机器
    • 2.2 平移（Translation）：改变位置而不改变形状和大小
    • 2.3 旋转（Rotation）：改变方向而不改变形状和大小
    • 2.4 缩放（Uniform scaling / Non-uniform scaling）：改变大小，均匀或非均匀
    • 2.5 相似变换（Similarity Transformation）：平移、旋转、均匀缩放的组合
  • 三、线性变换（Common linear transformations / 2x2 Matrices）：用矩阵统一表示变换
  • • 3.1 线性变换的矩阵表示（All 2D Linear Transformations）：用2×2矩阵表示缩放、旋转、剪切
    • 3.2 平移不是线性变换（Translation is not a linear operation）：平移不能用2×2矩阵表示
  • 四、齐次坐标（Homogeneous coordinates）：统一表示所有变换的数学工具
  • • 4.1 齐次坐标的概念（Homogeneous coordinates）：通过添加坐标维度统一表示变换
    • 4.2 用齐次坐标表示平移（Translation Solution）：用3×3矩阵表示平移
    • 4.3 用齐次坐标表示旋转和缩放（Rotation and Scaling in Homogeneous Coordinates）：统一用3×3矩阵表示
  • 五、变换的层次（Affine transformations / Projective Transformations）：从仿射到投影的递进关系
  • • 5.1 仿射变换（Affine Transformation / Basic affine transformations）：线性变换和平移的组合
    • 5.2 投影变换（Projective Transformation / Homographies / Planar Perspective Maps）：最一般的平面变换
    • 5.3 变换的层次关系（These transformations are a nested set of groups）：嵌套的变换集合
  • 本章总结

适合对象：计算机视觉初学者、图像处理入门者
⏱️ 预计阅读时间：40-50分钟
学习目标：理解图像变换的基本概念、掌握常见的几何变换、了解变换的层次关系

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学习路线图

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本文内容一览（快速理解）

1. 图像变换的两种类型：图像滤波改变像素值，图像变形改变像素位置

2. 基本几何变换：平移、旋转、缩放是图像变换的基础操作

3. 线性变换：可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像

4. 齐次坐标：通过添加一个坐标维度，可以统一表示包括平移在内的所有变换

5. 变换层次：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，层次递进，功能越来越强大

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一、图像变换是什么（Image Transformation）：理解两种变换类型

这一章要建立的基础：理解图像变换的基本概念，区分两种不同类型的图像变换。

核心问题：当我们说"变换图像"时，到底指的是什么？有哪些不同的变换方式？

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[!NOTE]
关键点总结：图像变换分为两种类型：图像滤波（改变像素值范围）和图像变形（改变像素位置定义域）。几何变换属于图像变形，改变的是像素的空间位置。

1.1 图像变换的两种类型（Image Filtering vs Image Warping）：滤波改变像素值，变形改变像素位置

概念的本质：

图像变换可以分为两种基本类型：

1. 图像滤波（Image Filtering）：改变图像的范围（range）

   • 改变像素的值（亮度、颜色）
   • 公式：$g(x)=h(f(x))$
   • 例如：亮度调整、颜色增强、模糊处理

2. 图像变形（Image Warping）：改变图像的定义域（domain）

   • 改变像素的位置（坐标）
   • 公式：$g(x)=f(h(x))$
   • 例如：旋转、缩放、平移

图解说明：

说明：图像滤波改变的是"像素值是什么"，图像变形改变的是"像素在哪里"

类比理解：

• 图像滤波：就像给照片调色或加滤镜，照片中物体的位置不变，但颜色、亮度改变了
• 图像变形：就像把照片旋转或拉伸，照片中物体的位置改变了，但颜色、亮度保持不变

实际例子：

图像滤波示例：
- 亮度调整：让整张照片变亮或变暗
- 模糊处理：让照片变得柔和
- 锐化处理：让照片边缘更清晰
图像变形示例：
- 旋转：把照片顺时针旋转90度
- 缩放：把照片放大2倍
- 平移：把照片向右移动100像素

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二、基本几何变换（2D Geometric Transformations）：平移、旋转、缩放的基础操作

前面我们知道了：图像变形是改变像素位置的变换，属于几何变换。

但遇到了问题：有哪些基本的几何变换？它们是如何工作的？

这一章要解决：理解三种最基本的几何变换：平移、旋转、缩放。

答案：平移、旋转、缩放是图像几何变换的基础，可以组合使用实现复杂的变换效果。

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[!NOTE]
关键点总结：平移、旋转、缩放是三种最基本的几何变换。平移改变位置，旋转改变方向，缩放改变大小。这些变换可以组合使用。

2.1 什么是几何变换（Parametric (global) warping）：坐标变换机器

概念的本质：

几何变换可以看作是一个坐标变换机器（coordinate-changing machine）：

• 输入：原图像中的点 $p=(x,y)$
• 输出：变换后图像中的点 $p^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$
• 变换函数：$p^{\prime }=T(p)$

参数化变形（Parametric Warping）：

参数化变形是指：

• 全局性：变换 $T$ 对所有点都相同
• 参数少：可以用少数几个参数描述整个变换

图解说明：

说明：参数化变形是全局的，同一个变换函数对所有点都适用

类比理解：就像用模具压印——同一个模具（变换函数）对所有材料（图像中的点）都产生相同的变形效果。

2.2 平移（Translation）：改变位置而不改变形状和大小

概念的本质：

平移是将图像中的所有点沿着某个方向移动固定的距离。

平移的特点：

• 只改变位置，不改变形状、大小、方向
• 可以用向量 $(t_x,t_y)$ 表示平移量

实际例子：

向右平移100像素，向上平移50像素：
- 原位置：(100, 100)
- 新位置：(200, 150)
- 平移向量：(100, 50)

2.3 旋转（Rotation）：改变方向而不改变形状和大小

概念的本质：

旋转是将图像围绕某个点（通常是原点）旋转一定的角度。

旋转的特点：

• 改变方向，不改变形状、大小
• 可以用角度 $\theta$ 表示旋转量
• 逆时针旋转为正方向

图解说明：

实际例子：

顺时针旋转90度：
- 原方向：水平向右 →
- 新方向：垂直向下 ↓
- 旋转角度：-90°（或270°）

2.4 缩放（Uniform scaling / Non-uniform scaling）：改变大小，均匀或非均匀

概念的本质：

缩放是将图像在某个方向上放大或缩小。

缩放的类型：

• 均匀缩放：x和y方向缩放比例相同
• 非均匀缩放：x和y方向缩放比例不同（改变宽高比）

缩放的特点：

• 改变大小，不改变形状（均匀缩放）或改变形状（非均匀缩放）
• 可以用缩放因子 $s$ 表示

图解说明：

实际例子：

放大2倍（均匀缩放）：
- 原大小：100×100像素
- 新大小：200×200像素
- 缩放因子：s = 2
x方向放大2倍，y方向不变（非均匀缩放）：
- 原大小：100×100像素
- 新大小：200×100像素
- 缩放因子：sx = 2, sy = 1

2.5 相似变换（Similarity Transformation）：平移、旋转、均匀缩放的组合

概念的本质：

相似变换是平移、旋转、均匀缩放的组合。

相似变换的特点：

• 保持形状不变（相似）
• 可以改变位置、方向、大小
• 保持角度不变

实际应用：

图像配准：
- 找到两幅图像之间的相似变换
- 可以将一幅图像对齐到另一幅图像
- 用于图像拼接、目标跟踪等

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三、线性变换（Common linear transformations / 2x2 Matrices）：用矩阵统一表示变换

前面我们知道了：平移、旋转、缩放是基本的几何变换。

但遇到了问题：如何用数学方法统一表示这些变换？能否用矩阵表示？

这一章要解决：理解线性变换的矩阵表示方法。

答案：缩放、旋转、剪切、镜像可以用2×2矩阵表示，但平移不能直接用2×2矩阵表示，需要齐次坐标。

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[!NOTE]
关键点总结：线性变换可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像。线性变换保持原点不变，保持直线和平行关系。平移不是线性变换，需要齐次坐标才能统一表示。

3.1 线性变换的矩阵表示（All 2D Linear Transformations）：用2×2矩阵表示缩放、旋转、剪切

概念的本质：

线性变换是指可以用矩阵乘法表示的变换：
$$p^{\prime }=M\cdot p$$

其中 $M$ 是2×2矩阵，$p=(x,y)$ 是原坐标，$p^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ 是新坐标。

常见的线性变换：

1. 均匀缩放：用矩阵 $\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]$ 表示
2. 非均匀缩放：用矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]$ 表示
3. 旋转：用矩阵 $\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ 表示

图解说明：

线性变换的性质：

• 原点映射到原点：$(0,0)\to (0,0)$
• 直线映射到直线
• 平行线保持平行
• 比例关系保持不变

3.2 平移不是线性变换（Translation is not a linear operation）：平移不能用2×2矩阵表示

概念的本质：

平移的公式是：
$$x^{\prime }=x+t_x$$
$$y^{\prime }=y+t_y$$

这不能写成 $p^{\prime }=M\cdot p$ 的形式，因为平移会改变原点位置。

图解说明：

问题：平移不是线性变换，不能用2×2矩阵表示，这引出了齐次坐标的必要性

解决方案：需要使用齐次坐标来统一表示包括平移在内的所有变换。

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四、齐次坐标（Homogeneous coordinates）：统一表示所有变换的数学工具

前面我们知道了：线性变换可以用2×2矩阵表示，但平移不能。

但遇到了问题：能否找到一种方法，统一表示包括平移在内的所有变换？

这一章要解决：理解齐次坐标的概念和作用。

答案：齐次坐标通过添加一个坐标维度，可以用3×3矩阵统一表示包括平移在内的所有变换。

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[!NOTE]
关键点总结：齐次坐标通过添加一个坐标维度（w），可以用3×3矩阵统一表示平移、旋转、缩放等所有变换。齐次坐标是计算机图形学和计算机视觉的基础工具。

4.1 齐次坐标的概念（Homogeneous coordinates）：通过添加坐标维度统一表示变换

概念的本质：

齐次坐标是在原有坐标 $(x,y)$ 的基础上，添加一个坐标维度 $w$，得到 $(x,y,w)$。

坐标转换：

• 从普通坐标到齐次坐标：$(x,y)\to (x,y,1)$
• 从齐次坐标到普通坐标：$(x,y,w)\to (x/w,y/w)$（当 $w\ne 0$）

图解说明：

说明：齐次坐标是一个技巧（trick），通过添加一个维度来统一表示所有变换

类比理解：就像给二维地图添加一个高度维度，变成三维地图，可以更方便地表示某些操作。

4.2 用齐次坐标表示平移（Translation Solution）：用3×3矩阵表示平移

概念的本质：

使用齐次坐标，平移可以用3×3矩阵表示：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

优势：

• 统一了所有变换的表示方法
• 可以方便地组合多个变换
• 矩阵乘法可以表示变换的组合

4.3 用齐次坐标表示旋转和缩放（Rotation and Scaling in Homogeneous Coordinates）：统一用3×3矩阵表示

概念的本质：

旋转也可以用3×3矩阵表示，形式为：
$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

缩放的齐次坐标表示：

缩放也可以用3×3矩阵表示，形式为：
$$\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

组合变换：

多个变换可以通过矩阵乘法组合：
$$M_{组合}=M_3\cdot M_2\cdot M_1$$

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五、变换的层次（Affine transformations / Projective Transformations）：从仿射到投影的递进关系

前面我们知道了：齐次坐标可以统一表示平移、旋转、缩放等变换。

但遇到了问题：还有哪些更复杂的变换？它们之间有什么关系？

这一章要解决：理解仿射变换和投影变换，以及变换的层次关系。

答案：变换有层次关系：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，功能越来越强大，但保持的性质越来越少。

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[!NOTE]
关键点总结：变换分为三个层次：线性变换（保持原点）、仿射变换（保持平行线）、投影变换（只保持直线）。投影变换最强大，可以表示透视效果。

5.1 仿射变换（Affine Transformation / Basic affine transformations）：线性变换和平移的组合

概念的本质：

仿射变换是线性变换和平移的组合，可以用以下形式的3×3矩阵表示：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

仿射变换的性质：

• 原点不一定映射到原点
• 直线映射到直线
• 平行线保持平行（重要性质）
• 比例关系保持不变

基本仿射变换：

• 平移
• 2D平面内旋转
• 剪切（Shear）
• 缩放

图解说明：

实际应用：

图像校正：
- 校正扫描文档的倾斜
- 校正相机拍摄的角度
- 保持平行线关系

5.2 投影变换（Projective Transformation / Homographies / Planar Perspective Maps）：最一般的平面变换

概念的本质：

投影变换（也称为单应性，Homography）是最一般的平面变换，可以用以下形式的3×3矩阵表示：

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$$

其中最后一行不一定是 $[0,0,1]$。

投影变换的性质：

• 原点不一定映射到原点
• 直线映射到直线
• 平行线不一定保持平行（可能相交）
• 比例关系不保持

图解说明：

实际应用：

透视校正：
- 校正透视畸变（如拍摄建筑物时的透视效果）
- 图像拼接
- 虚拟现实中的纹理映射

5.3 变换的层次关系（These transformations are a nested set of groups）：嵌套的变换集合

概念的本质：

变换是一个嵌套的集合（nested set of groups）：

线性变换└─ 仿射变换（线性变换 + 平移）└─ 投影变换（最一般）

图解说明：

性质对比：

变换类型	保持原点	保持平行线	保持比例	矩阵形式
线性变换	✅	✅	✅	2×2或3×3（最后行[0,0,1]）
仿射变换	❌	✅	✅	3×3（最后行[0,0,1]）
投影变换	❌	❌	❌	3×3（任意）

实际应用选择：

选择变换类型的原则：
- 只需要旋转、缩放 → 线性变换
- 需要平移 → 仿射变换
- 需要透视效果 → 投影变换

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本章总结

核心要点回顾：

1. 图像变换的两种类型：图像滤波改变像素值，图像变形改变像素位置

2. 基本几何变换：平移、旋转、缩放是图像变换的基础，可以组合使用

3. 线性变换：可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像

4. 齐次坐标：通过添加坐标维度，可以用3×3矩阵统一表示包括平移在内的所有变换

5. 变换层次：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，功能越来越强大，但保持的性质越来越少

知识地图：

关键决策点：

• 需要改变像素值 → 图像滤波
• 需要改变像素位置 → 图像变形（几何变换）
• 只需要旋转、缩放 → 线性变换
• 需要平移 → 仿射变换
• 需要透视效果 → 投影变换

实际应用场景：

• 图像配准：找到两幅图像之间的变换关系
• 图像校正：校正倾斜、透视畸变
• 图像拼接：将多幅图像拼接成全景图
• 目标跟踪：跟踪目标的几何变换
• 虚拟现实：纹理映射和场景变换

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