力学全领域基础理论与数学框架

1. 理论基础与公理化体系

1.1 力学的基本公理

牛顿力学公理体系：

1. 惯性定律：存在参考系（惯性系），质点不受力时保持静止或匀速直线运动

2. 运动定律：在惯性系中，ma=F

3. 作用与反作用定律：FAB​=−FBA​

4. 力的叠加原理：F=∑i​Fi​

相对性原理：

• 伽利略相对性：力学定律在所有惯性系中形式相同

• 爱因斯坦相对性：所有物理定律在所有惯性系中形式相同

确定论原理：

已知系统在t0​时刻的状态，可由运动方程唯一确定其在任何时刻的状态

2. 经典力学完整理论体系

2.1 牛顿-欧拉力学

2.2 分析力学体系

2.3 约束系统理论

3. 连续介质力学完整理论

3.1 运动学

3.2 守恒定律

3.3 本构理论

本构公理：

1. 确定性原理：当前应力由运动历史决定

2. 局部作用原理：某点的应力只与该点附近运动有关

3. 客观性原理：本构关系与观察者无关

4. 物质对称性：反映物质微观结构对称性

5. 衰减记忆：远过去的运动对当前状态影响小

3.4 热力学框架

4. 固体力学专门理论

4.1 线弹性理论

4.2 板壳理论

4.3 断裂力学

4.4 接触力学

4.5 复合材料力学

5. 流体力学完整理论

5.1 流体运动学

5.2 流体动力学基本方程

5.3 特殊流动

湍流理论：

5.4 可压缩流动

6. 动力学与控制理论

6.1 线性振动

6.2 非线性振动

6.3 随机振动

6.4 控制理论

7. 多体系统动力学

7.1 刚体系统

7.2 约束多体系统

8. 波动力学

8.1 弹性波

体波：

表面波：

• 瑞利波：在半空间表面传播，衰减深度约1-2倍波长

• 波速方程：$\left(2 - \frac{c_R^2}{c_s^2}\right)^2 = 4\sqrt{1

9. 连续介质力学（续）

9.1 非牛顿流体力学

本构关系：

• 广义牛顿流体：τ=2μ(γ˙​)D，其中γ˙​=2D:D​

• 幂律流体：μ(γ˙​)=Kγ˙​n−1

• 卡森流体：τ​=τy​​+μ∞​γ˙​​，当τ>τy​

• 宾汉流体：τ=(γ˙​τy​​+μp​)2D，当τ>τy​

粘弹性流体：

• 麦克斯韦模型：τ+λ1​DtDτ​=2μ0​D

• 上随体导数：DtDτ​=∂t∂τ​+v⋅∇τ−(∇v)T⋅τ−τ⋅∇v

• 奥尔德罗伊德-B模型：τ+λ1​DtDτ​=2μ0​(D+λ2​DtDD​)

9.2 多相流

两相流模型：

• 连续方程：∂t∂(αk​ρk​)​+∇⋅(αk​ρk​vk​)=0，k=1,2

• 动量方程：αk​ρk​(∂t∂vk​​+vk​⋅∇vk​)=−αk​∇p+∇⋅(αk​τk​)+αk​ρk​g+Mk​

• 界面传输：M1​=−M2​，包括拖曳力、升力、虚拟质量力等

颗粒流：

• 颗粒相应力：τp​=−pp​I+2μp​Dp​+λp​(∇⋅vp​)I

• 颗粒压力：pp​=ρp​Θ[1+2(1+e)g0​α]

• 颗粒粘度：μp​=54​α2ρp​dp​g0​(1+e)πΘ​​+96(1+e)αg0​10ρp​dp​πΘ​​

10. 固体力学（续）

10.1 粘弹性固体

积分型本构：

• 蠕变柔量：J(t)=σ0​ε(t)​（常应力）

• 松弛模量：E(t)=ε0​σ(t)​（常应变）

• Boltzmann叠加原理：ε(t)=∫−∞t​J(t−τ)dσ(τ)=∫−∞t​J(t−τ)σ˙(τ)dτ

微分型本构：

• 广义麦克斯韦模型：∑k=0m​pk​dtkdkσ​=∑k=0n​qk​dtkdkε​

• 广义开尔文模型：多个开尔文体串联

时温等效原理：

• WLF方程：logaT​=C2​+(T−Tg​)−C1​(T−Tg​)​，Tg​为玻璃化转变温度

• 移动因子：J(T,t)=J(T0​,t/aT​)

10.2 塑性力学（更深入）

屈服准则：

• Drucker-Prager准则：f=J2​​+αI1​−k=0，其中I1​=σkk​，J2​=21​sij​sij​

• Mohr-Coulomb准则：τ=c−σtanϕ

• 帽盖模型：组合剪切屈服面和压缩帽盖

硬化法则：

• 等向硬化：屈服面均匀膨胀

• 随动硬化：屈服面平移，Prager硬化：dα=cdεp

• 混合硬化：f(σ−α,κ)=0

塑性流动法则：

• 关联流动：dεp=dλ∂σ∂f​

• 非关联流动：dεp=dλ∂σ∂g​，g=f

一致性条件：

• 塑性加载时：f=0且df=∂σ∂f​:dσ+∂α∂f​:dα+∂κ∂f​dκ=0

10.3 损伤力学

损伤变量：

• 标量损伤：D∈[0,1]，有效应力σ~=1−Dσ​

• 应变等效原理：ε=Eσ~​=E(1−D)σ​

损伤演化：

• 基于应变的准则：D=1−εε0​​exp[−B(ε−ε0​)]

• 基于能量的准则：D=1−exp[−∫0ε​S0​Y​dε]，Y=21​ε:E:ε

损伤本构：

• 弹性损伤：σ=(1−D)E:ε

• 弹塑性损伤：σ=(1−D)σ~，σ~为有效应力

11. 稳定性理论

11.1 静力稳定性

能量准则：

• 总势能：Π=U−W

• 平衡状态：δΠ=0

• 稳定性：δ2Π>0稳定，δ2Π<0不稳定，δ2Π=0临界

欧拉屈曲：

• 两端铰支柱：Pcr​=L2π2EI​

• 不同边界条件：Pcr​=(μL)2π2EI​，μ为长度系数

板壳屈曲：

• 板：σcr​=kb2hπ2D​，D=12(1−ν2)Eh3​，k为屈曲系数

• 圆柱壳轴压：σcr​=R3(1−ν2)​Eh​

11.2 动力稳定性

弗洛凯理论：

• 周期系数系统：x˙=A(t)x，A(t+T)=A(t)

• 基本解矩阵：Φ(t)，满足Φ(t+T)=Φ(t)C

• 特征乘数：C的特征值ρi​，稳定性要求∣ρi​∣≤1

参数共振：

• 马蒂厄方程：x¨+(δ+2εcos2t)x=0

• 不稳定区域近似：δ≈n2±21​ε2+O(ε3)，n=0,1,2,...

李雅普诺夫稳定性：

• 定义：∀ε>0,∃δ>0，当∥x(0)∥<δ时，∥x(t)∥<ε对t>0

• 直接法：若存在正定函数V(x)使V˙(x)负定，则稳定

• 线性化：x˙=Ax，特征值实部全负则稳定

12. 计算力学方法

12.1 有限元法

弱形式：

• 加权残值：∫Ω​w⋅(Lu−f)dΩ=0

• 分部积分后：a(w,u)=(w,f)

单元插值：

• uh=∑i=1n​Ni​(x)ui​

• 等参变换：x=∑i=1n​Ni​(ξ)xi​

刚度矩阵：

• K=∫Ωe​BTDBdΩ

• 其中B为应变-位移矩阵，D为本构矩阵

数值积分：

• 高斯积分：∫−11​f(ξ)dξ≈∑i=1n​wi​f(ξi​)

• 二维：∫−11​∫−11​f(ξ,η)dξdη≈∑i=1n​∑j=1n​wi​wj​f(ξi​,ηj​)

12.2 有限体积法

守恒方程积分形式：

• dtd​∫V​ϕdV+∫S​F⋅ndS=∫V​QdV

离散格式：

• 对流项：一阶迎风、二阶中心、QUICK格式

• 扩散项：中心差分

• 压力-速度耦合：SIMPLE、PISO算法

12.3 边界元法

边界积分方程：

• 直接法：cij​uj​+∫S​Tij∗​uj​dS=∫S​Uij∗​tj​dS

• 其中Uij∗​、Tij∗​为基本解，cij​为自由项系数

基本解：

• 拉普拉斯方程：U∗=4πr1​（三维），U∗=−2π1​lnr（二维）

• 弹性力学：Uij∗​=16πμ(1−ν)r1​[(3−4ν)δij​+r,i​r,j​]

13. 生物力学

13.1 骨力学

骨重构：

• 沃尔夫定律：骨适应力学环境

• 重构方程：dtdρ​=B(S−k)，S为力学刺激，k为参考值

骨本构：

• 表观密度ρ与弹性模量关系：E=Cρα，通常α≈2−3

13.2 血液动力学

动脉血流：

• 脉搏波速：c=2ρREh​​（Moens-Korteweg公式）

• 沃默斯利数：α=Rμωρ​​，振荡流与定常流比例

14. 微纳米力学

14.1 微极理论

微极连续介质：

• 附加转动自由度：χ

• 曲率张量：κ=∇χ

• 平衡方程：∇⋅σ+f=0，∇⋅μ+σ×+l=0

• 其中σ×为应力偶矢，μ为偶应力张量

14.2 应变梯度理论

二阶应变梯度：

• 应变能密度：W=W(ε,∇ε)

• 高阶应力：τ=∂(∇ε)∂W​

15. 相对论力学

15.1 狭义相对论

洛伦兹变换：

• x′=γ(x−vt)，t′=γ(t−c2v​x)，γ=1−c2v2​​1​

相对论动力学：

• 动量：p=γm0​v

• 能量：E=γm0​c2

• 质能关系：E2=p2c2+m02​c4

15.2 广义相对论

测地线方程：

• dτ2d2xμ​+Γαβμ​dτdxα​dτdxβ​=0

• 克里斯托费尔符号：Γαβμ​=21​gμν(∂xβ∂gνα​​+∂xα∂gνβ​​−∂xν∂gαβ​​)

爱因斯坦场方程：

• Gμν​=Rμν​−21​Rgμν​=c48πG​Tμν​

以上是对力学各个领域的补充，涵盖了从经典到现代，从宏观到微观的多个方面。实际上，力学是一个极其庞大的学科，每个子领域都有深入的理论体系。这份提纲可以作为深入学习各个方向的基础框架。

16. 量子力学与统计力学基础

16.1 量子力学基本原理

薛定谔方程：

• 含时：iℏ∂t∂​Ψ(r,t)=H^Ψ(r,t)

• 定态：H^ψ(r)=Eψ(r)

• 哈密顿算符：H^=−2mℏ2​∇2+V(r)

力学量算符：

• 坐标：x^=x

• 动量：p^​x​=−iℏ∂x∂​

• 对易关系：[x^i​,p^​j​]=iℏδij​，[L^i​,L^j​]=iℏϵijk​L^k​

角动量理论：

• 轨道角动量：L^=r×p^​

• 自旋角动量：S^z​∣s,ms​⟩=ms​ℏ∣s,ms​⟩

• 升降算符：L^±​=L^x​±iL^y​

16.2 量子统计力学

系综理论：

• 微正则系综：Ω(E,V,N)

• 正则系综：Z=∑i​e−βEi​，β=1/(kB​T)

• 巨正则系综：Ξ=∑N=0∞​eβμNZN​

量子统计分布：

• 费米-狄拉克：⟨ni​⟩=eβ(ϵi​−μ)+11​

• 玻色-爱因斯坦：⟨ni​⟩=eβ(ϵi​−μ)−11​

• 经典极限：⟨ni​⟩=e−β(ϵi​−μ)

17. 相对论连续介质力学

17.1 相对论流体力学

能动张量：

• 理想流体：Tμν=(ϵ+p)uμuν−pgμν

• 其中ϵ为能量密度，p为压强，uμ为四维速度

• 守恒律：∇μ​Tμν=0

相对论欧拉方程：

• (ϵ+p)uμ∇μ​uν=(gμν−uμuν)∇μ​p

17.2 相对论弹性理论

相对论应变：

• 四维变形梯度：F αμ​=∂Xα∂xμ​

• 空间投影：hμν​=gμν​−uμ​uν​

• 应变张量：Eαβ​=21​(hμν​F αμ​F βν​−Gαβ​)

18. 非线性动力学与混沌

18.1 动力系统基础

稳定性分析：

• 线性化矩阵：J=Df(x∗)

• 李雅普诺夫指数：λi​=limt→∞​t1​ln∣σi​(Dϕt)∣

• 分岔类型：鞍结、跨临界、叉式、霍普夫

中心流形定理：

• x˙=Ax+f(x,y)

• y˙​=By+g(x,y)

• 存在中心流形：y=h(x)

规范形理论：

• 通过近恒同变换化简系统

• 普适开折：z˙=(μ+iω)z+c1​z∣z∣2+...

18.2 哈密顿混沌

19. 微纳米尺度力学

19.1 微机电系统(MEMS)

19.2 分子动力学

20. 生物力学深入

20.1 肌肉力学

20.2 细胞力学

21. 地球物理流体力学

21.1 旋转流体

21.2 热对流

22. 等离子体力学

22.1 磁流体力学(MHD)

23. 计算固体力学高级专题

23.1 扩展有限元法(XFEM)

23.2 等几何分析(IGA)

24. 流固耦合(FSI)

24.1 耦合方法

25. 数据驱动力学

25.1 机器学习方法

25.2 不确定性量化

结语

以上内容构成了力学领域的完整知识体系框架，涵盖了从经典到现代、从宏观到微观、从理论到应用的各个方面。这个框架的特点是：

1. 系统性：从基本原理到专门应用

2. 层次性：从质点力学到连续介质，再到微观和相对论

3. 交叉性：结合了物理、数学、计算科学等多学科

4. 现代性：包含了前沿的计算力学和数据驱动方法

每个子领域都有其深厚的理论体系，需要进一步深入学习。在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的理论框架和分析方法。