【1 月小记】Part 4: 数位 DP - L

news/2026/1/16 21:48:52/文章来源:https://www.cnblogs.com/L-Coding/p/19494174

数位 DP

持续更新中……

一、导言

数位 DP 是一种解决“统计合法数字的个数”一类问题的动态规划方法。

这种数字可以是任意进制的。

这种问题一般具有以下特征：

最终目的为计数；
可以用拆位的思想解决；
统计限制为给定区间；
上界很大。

基本原理（引用自 OI-Wiki）：考虑人类计数的方式，最朴素的计数就是从小到大开始依次加一。但我们发现对于位数比较多的数，这样的过程中有许多重复的部分，例如，从 7000 数到 7999、从 8000 数到 8999、和从 9000 数到 9999 的过程非常相似，它们都是后三位从 000 变到 999，不一样的地方只有千位这一位，所以我们可以把这些过程归并起来，将这些过程中产生的计数答案也都存在一个通用的数组里。此数组根据题目具体要求设置状态，用递推或 DP 的方式进行状态转移。

数位 DP 中通常会利用常规计数问题技巧，比如把一个区间内的答案拆成两部分相减。

二、例题

P2602 [ZJOI2010] 数字计数

这是一道数位 DP 的模板题。

我们~~充分发扬人类智慧，~~使用差分思想，发现题意需要转化一下。让求 \([a, b]\) 的数字中，出现了几次某个数字，实际就是求 \([0, b]\) 中出现了几次某个数字，减去 \([0, a - 1]\) 中出现了几次某个数字。

不妨使用记忆化搜索解决此题。搜索函数 DFS 中传入以下参量：

\(pos\)，表示当前搜索的数字位数
\(lmt\)，表示当前数字是否还在限制范围内。意义：如果 \(lmt\) 为 true，表示当前数字还在限制范围内，接下来可以选择的数字范围是 \([0, num[pos]]\)；如果 \(lmt\) 为 false，表示当前数字已经超出了限制范围，接下来可以选择的数字范围是 \([0, 9]\)。
\(sum\)，表示当前数字中出现了多少个目标数字，相当于对 \([0, num]\) 中的每一位进行统计。
\(zero\)，表示当前数字前面是否有零。意义：免去前导零带来的麻烦，即如果 \(zero\) 为 true，表示当前数字前面有零，接下来可以选择的数字范围是 \([1, 9]\)；如果 \(zero\) 为 false，表示当前数字前面没有零，接下来可以选择的数字范围是 \([0, 9]\)。
\(digit\)，表示当前要统计的目标数字。

我们使用 \(f\) 数组记忆化存储状态信息，初始值设为 \(-1\)。

搜索边界为 \(pos = 0\)，此时返回 \(sum\)。

在搜索过程中定义一个结果变量 \(res\)。依次枚举 \([0, 9]\) 中的每一个数字 \(i\)，判断当前数字是否在限制范围内，并进行递归搜索。以下是搜索细节：

如果 \(lmt\) 为 false，且 \(i > num[pos]\)，则 break，因为当前数字已经超出了限制范围。
递归调用 DFS 函数，传入以下参数：

a. \(pos - 1\)，表示搜索下一位数字。

b. \(lmt \lor (i < num[pos])\)，表示当前数字是否还在限制范围内。如果 \(lmt\) 为 true，且 \(i < num[pos]\)，则表示当前数字已经超出了限制范围，传入 false；否则传入 true。

c. \(sum + ((\lnot zero \lor i) \land (i = digit))\)，表示当前数字中出现了多少个目标数字。如果 \(zero\) 为 false 或 \(i\) 不为 0，且 \(i\) 等于 \(digit\)，则表示当前数字中出现了一个目标数字，\(sum\) 加 1；否则 \(sum\) 不变。

d. \(zero \land (i == 0)\)，表示当前数字前面是否有零。如果 \(zero\) 为 true 且 \(i\) 为 0，则表示当前数字前面有零，传入 true；否则传入 false。

e. \(digit\)，不变。

最后，返回结果 \(res\)。

对于输入的两个整数 \(a\) 和 \(b\)，写一个函数 work 分解它们的十进制位，并将这些数位存到全局数组 \(num\) 中，随后调用 DFS 函数进行搜索。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define inf LONG_LONG_MAX
#define debug cout << '!';
using namespace std;
int a, b;
int num[20];
int f[20][2][200][2][10];
int DFS(int pos, bool lmt, int sum, bool zero, int digit) {if (pos == 0) return sum;if (f[pos][lmt][sum][zero][digit] != -1) return f[pos][lmt][sum][zero][digit];int res = 0;for (int i = 0; i <= 9; i++) {if (!lmt && i > num[pos]) break;res += DFS(pos - 1, lmt || (i < num[pos]), sum + ((!zero || i) && (i == digit)), zero && (i == 0), digit);}f[pos][lmt][sum][zero][digit] = res;return res;
}
int work(int x, int digit) {int len = 0;while (x) {num[++len] = x % 10;x /= 10;}memset(f, -1, sizeof(f));return DFS(len, 0, 0, 1, digit);
}
signed main() {cin.tie(0) -> sync_with_stdio(0);cin >> a >> b;for (int i = 0; i <= 9; i++) {cout << work(b, i) - work(a - 1, i) << ' ';}return 0;
}

P3413 SAC#1 - 萌数

我们要找出所有萌的数。题意告诉我们，一个数字是萌的，当且仅当它的十进制数码中，存在长度至少为 \(2\) 的回文子串。

但是，我们注意到，一个长度大于 \(2\) 的回文子串内：