PERT 图（Program Evaluation and Review Technique）是一种项目管理工具，用于规划、调度和控制复杂项目的任务流程。其核心概念与应用如下：

1. 松弛时间（Slack Time）：指在不影响整个项目完成时间的前提下，某项任务可以延迟的时间量。若某任务的松弛时间为 0，则该任务位于关键路径上，任何延误都会直接导致项目总工期延长。

2. 空任务（Dummy Activity）：用虚线箭头表示，持续时间为 0，不消耗资源，仅用于表达任务之间的逻辑依赖关系，确保网络图结构正确。

3. 节点信息：每个事件节点通常包含：

   • 事件编号
   • 最早发生时刻（Early Time）
   • 最迟发生时刻（Late Time）

4. 关键路径：从起点到终点的所有路径中耗时最长的一条，决定了项目的最短完成时间。路径上所有任务的松弛时间均为 0。

5. 实例解析（如图 5-13）：

   • 关键路径为：1→2→3→4→6→8→10→11
   • 此路径上的任务松弛时间均为 0，说明无时间缓冲，必须准时完成。

6. PERT 图的作用：

   • 明确任务的先后顺序与依赖关系
   • 计算各任务的最早/最迟开始与结束时间
   • 识别关键路径，集中管理重点任务
   • 利用松弛时间优化资源调配

7. 局限性：

   • 不擅长展示任务间的并行执行细节
   • 对逻辑关系复杂的项目可能图形混乱
   • 难以动态调整（尤其手动绘制时）

8. 软件项目组织原则：

   • 尽早落实责任：项目初期就应指定负责人，明确权责，避免推诿。
   • 减少交流接口：团队沟通路径越多，信息失真和协调成本越高，应通过合理组织结构降低沟通复杂度，提升生产率。
     在PERT图中，每个事件的最早时刻和最迟时刻是通过前向遍历和后向遍历计算得出的，它们用于确定任务的时间安排、松弛时间以及关键路径。

一、最早时刻（Earliest Time, ET）

定义：事件最早可能发生的时间，即所有前置任务全部完成后的最早时间。
计算方式：从起点开始，沿箭头方向逐个节点向前推算（前向遍历）。

计算规则：

• 起始事件的最早时刻为 0：
  ET(1)=0 ET(1) = 0ET(1)=0
• 对于任意事件 $ j $，其最早时刻为：
  ET(j)=max⁡{ET(i)+Dij} ET(j) = \max\left\{ ET(i) + D_{ij} \right\}ET(j)=max{ET(i)+Dij​}
  其中：
  • $ i $ 是所有指向事件 $ j $ 的前驱事件
  • $ D_{ij} $ 是从事件 $ i $ 到 $ j $ 的任务持续时间

✅说明：取所有进入该事件的路径中的最大值，因为必须等最长的一条路径完成，事件才能发生。

二、最迟时刻（Latest Time, LT）

定义：在不延误整个项目工期的前提下，事件最晚必须发生的时间。
计算方式：从终点开始，逆着箭头方向逐个节点回推（后向遍历）。

计算规则：

• 终点事件的最迟时刻等于其最早时刻：
  LT(n)=ET(n) LT(n) = ET(n)LT(n)=ET(n)
• 对于任意事件 $ i $，其最迟时刻为：
  LT(i)=min⁡{LT(j)−Dij} LT(i) = \min\left\{ LT(j) - D_{ij} \right\}LT(i)=min{LT(j)−Dij​}
  其中：
  • $ j $ 是所有由事件 $ i $ 指向的后续事件
  • $ D_{ij} $ 是从 $ i $ 到 $ j $ 的任务持续时间

✅说明：取所有出发路径中最小的“最晚允许时间”，确保不影响后续任务。

三、示例简析（以简化路径为例）

假设有一段路径：

事件1 --(A,4)--> 事件2 --(B,5)--> 事件3

• $ ET(1) = 0 $
• $ ET(2) = ET(1) + 4 = 4 $
• $ ET(3) = ET(2) + 5 = 9 $

若项目总工期为 9（即 $ LT(3) = 9 $），则：

• $ LT(3) = 9 $
• $ LT(2) = LT(3) - 5 = 4 $
• $ LT(1) = LT(2) - 4 = 0 $

此时所有任务松弛时间为 0 → 属于关键路径。

四、松弛时间（Slack Time）计算

每个事件的松弛时间可表示为：
Slack(i)=LT(i)−ET(i) \text{Slack}(i) = LT(i) - ET(i)Slack(i)=LT(i)−ET(i)

若某事件或任务的松弛时间为 0，则它位于关键路径上。