5.1 机器人正运动学与逆运动学

机器人运动学是研究机器人运动特性，而不考虑产生运动的力或力矩的几何学分支。它建立了机器人关节空间与操作空间之间的映射关系，是机器人轨迹规划、控制和仿真的基础。本节将系统阐述正运动学与逆运动学的核心概念、建模方法（重点介绍D-H参数法）、求解算法及其在机器人编程与控制中的关键作用。

5.1.1 概述：关节空间与操作空间

机器人的运动描述在两个不同的空间中：

• 关节空间：由机器人的所有关节变量（如旋转关节的角度θi\theta_iθi​、移动关节的位移did_idi​）所张成的空间。一个nnn自由度机器人的构型可由关节矢量q=[q1,q2,...,qn]Tq = [q_1, q_2, ..., q_n]^Tq=[q1​,q2​,...,qn​]T唯一确定，其中qiq_iqi​是广义关节坐标。
• 操作空间（任务空间）：描述机器人末端执行器位姿（位置和姿态）的空间。通常用六维向量表示：三维位置[px,py,pz]T[p_x, p_y, p_z]^T[px​,py​,pz​]T和三维姿态（如用欧拉角[ϕ,θ,ψ]T[\phi, \theta, \psi]^T[ϕ,θ,ψ]T或四元数表示）。

正运动学与逆运动学正是连接这两个空间的桥梁：

• 正运动学：给定一组关节变量qqq，计算末端执行器相对于基坐标系的位姿XXX。这是一个确定的函数映射：
  X=f(q)X = f(q)X=f(q)
• 逆运动学：给定末端执行器期望的位姿XdX_dXd​，求解所有可能的关节变量qqq，使得f(q)=Xdf(q) = X_df(q)=Xd​。这是一个可能存在多解、无解或求解困难的逆问题：
  q=f−1(Xd)q = f^{-1}(X_d)q=f−1(Xd​)

5.1.2 连杆与关节描述：D-H参数法

为了系统化地建立运动学方程，Denavit和Hartenberg提出了一种在机器人每个连杆上附着一个坐标系的系统方法，即D-H参数法（标准D-H法）。该方法用四个参数来描述相邻连杆坐标系之间的变换关系。

对于从连杆i−1i-1i−1到连杆iii的变换，定义四个D-H参数：

1. 连杆长度ai−1a_{i-1}ai−1​：沿X^i−1\hat{X}_{i-1}X^i−1​轴，从Z^i−1\hat{Z}_{i-1}Z^i−1​轴移动到Z^i\hat{Z}_iZ^i​轴的距离。
2. 连杆扭转角αi−1\alpha_{i-1}αi−1​：绕X^i−1\hat{X}_{i-1}X^i−1​轴，从Z^i−1\hat{Z}_{i-1}Z^i−1​轴旋转到Z^i\hat{Z}_iZ^