信奥赛C++提高组csp-s之倍增算法

倍增算法核心思想讲解

1. 什么是倍增？

“倍增”，顾名思义，就是成倍地增加。它的核心思想是：不是一步一步地处理问题，而是将每一步的“步长”以2的幂次（1, 2, 4, 8…）进行跳跃式处理。

2. 为什么倍增有效？

• 高效性：通过二进制划分，可以将一个线性过程的时间复杂度从 O(N) 优化到 O(logN)。
• 可行性：任何整数都可以用二进制数表示。这意味着，从起点到终点的任意一个长度，我们都可以通过2^k1 + 2^k2 + ...的跳跃方式到达。
• 预处理：倍增算法通常需要先进行预处理，计算出一些“跳跃点”的信息，以便在查询时能够快速组合。

3. 倍增的通用步骤

1. 定义状态：f[i][j]通常表示从i这个点出发，走2^j步（或者进行2^j次操作）后所到达的状态。这个“状态”可以是到达的位置、区间的最值、区间和等。
2. 预处理（DP填充）：这是算法的关键。我们利用递推关系来填充这个f数组（也称为ST表、DP表）。
   • 边界条件：f[i][0]表示从i走 1 (2^0) 步后的状态。这是初始的、已知的数据。
   • 递推公式：f[i][j] = f[ f[i][j-1] ][j-1]。这个公式是倍增的灵魂！它的意思是：从i走2^j步到达的点，等价于从i先走2^(j-1)步，到达一个中间点f[i][j-1]，然后再从这个中间点走2^(j-1)步。
3. 查询/执行：对于一次查询，比如“从点u走k步会到哪？”，我们将k分解成二进制。例如k = 13 = 8 + 4 + 1（二进制1101）。那么我们就依次走 8 步、4 步、1 步。每一步的跳跃都可以直接从我们预处理好的f数组中 O(1) 获取。

案例：ST 表 & RMQ 问题

题目描述

给定一个长度为N NN的数列，和 $ M $ 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数N , M N,MN,M，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含N NN个整数（记为a i a_iai​），依次表示数列的第i ii项。

接下来M MM行，每行包含两个整数l i , r i l_i,r_ili​,ri​，表示查询的区间为[ l i , r i ] [l_i,r_i][li​,ri​]。

输出格式

输出包含M MM行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

8 8 9 3 1 7 5 6 0 8 1 6 1 5 2 7 2 6 1 8 4 8 3 7 1 8

输出 #1

9 9 7 7 9 8 7 9

说明/提示

对于30 % 30\%30%的数据，满足1 ≤ N , M ≤ 10 1\le N,M\le 101≤N,M≤10。

对于70 % 70\%70%的数据，满足1 ≤ N , M ≤ 10 5 1\le N,M\le {10}^51≤N,M≤105。

对于100 % 100\%100%的数据，满足1 ≤ N ≤ 10 5 1\le N\le {10}^51≤N≤105，1 ≤ M ≤ 2 × 10 6 1\le M\le 2\times{10}^61≤M≤2×106，a i ∈ [ 0 , 10 9 ] a_i\in[0,{10}^9]ai​∈[0,109]，1 ≤ l i ≤ r i ≤ N 1\le l_i\le r_i\le N1≤li​≤ri​≤N。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintN=1e5+10;// 定义最大数组长度intn,m;// n: 数列长度, m: 询问个数inta[N];// 存储原始数列intst[N][17];// ST表，st[i][j]表示从位置i开始，长度为2^j的区间最大值intmain(){cin>>n>>m;// 读入数列并初始化ST表第一层for(inti=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);st[i][0]=a[i];// 长度为1的区间最大值就是元素本身}// 构建ST表for(intj=1;j<=17;j++){// j表示区间长度为2^jfor(inti=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){// i为区间起点// 将区间[i, i+2^j-1]分成两个长度为2^(j-1)的子区间// 取两个子区间最大值的较大者作为当前区间的最大值st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<(j-1))][j-1]);}}// 处理每个查询while(m--){intl,r;scanf("%d%d",&l,&r);// 计算区间长度的对数（向下取整）ints=log2(r-l+1);// 查询区间最大值：将区间分成可能有重叠的两部分// [l, l+2^s-1] 和 [r-2^s+1, r]intans=max(st[l][s],st[r-(1<<s)+1][s]);printf("%d\n",ans);}return0;}

功能分析

使用ST表（Sparse Table）解决区间最大值查询（RMQ）。

核心思想：

• 预处理：构建一个二维数组st，其中st[i][j]存储从位置i开始，长度为2^j的区间内的最大值
• 查询：对于任意区间[l, r]，可以将其分解为两个可能有重叠的区间，取这两个区间最大值的较大者

算法步骤：

1. 初始化：

   • st[i][0] = a[i]（长度为1的区间最大值就是元素本身）

2. 构建ST表：

   • 使用动态规划思想，st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i+2^(j-1)][j-1])
   • 即将大区间分成两个小区间，取两者的最大值

3. 查询处理：

   • 对于区间[l, r]，计算s = log2(r-l+1)（区间长度的对数）
   • 查询结果 =max(st[l][s], st[r-2^s+1][s])

复杂度分析：

• 预处理：O(N log N)
• 单次查询：O(1)
• 总复杂度：O(N log N + M)

优势：

• 查询速度极快（O(1)），适合处理大量查询
• 代码简洁，实现相对容易

适用场景：

• 静态数据（数据不修改）
• 查询次数远大于数据修改次数
• 需要快速响应大量区间查询

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