22.C++进阶：⼆叉搜索树|手撕二叉搜索树

⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

  • 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
  • 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
  • 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
  • ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log2Nlog_{2} Nlog2​N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(log2N)O(log_{2} N)O(log2​N)级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。
    这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

⼆叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

⼆叉搜索树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空
  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
  3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
  4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

⼆叉搜索树的实现代码

template<class K> struct BSTNode { K _key; BSTNode<K>* _left; BSTNode<K>* _right; BSTNode(const K& key) :_key(key) , _left(nullptr) , _right(nullptr) {} }; // Binary Search Tree template<class K> class BSTree { typedef BSTNode<K> Node; public: // 强制生成默认构造 BSTree() = default; BSTree(const BSTree<K>& t) { _root = Copy(t._root); } BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t) { swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { Destroy(_root); } bool Insert(const K& key) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key); if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } bool Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return true; } } return false; } bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { // 0-1个孩⼦的情况 // 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可 if (cur->_left == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_right; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; return true; } else if (cur->_right == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_left; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; return true; } else { // 2个孩⼦的情况 // 删除情况4，替换法删除 // 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除 // 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应图中删除8的情况 // ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。 Node* rightMinP = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinP = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } cur->_key = rightMin->_key; if (rightMinP->_left == rightMin) rightMinP->_left = rightMin->_right; else rightMinP->_right = rightMin->_right; delete rightMin; return true; } } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } ////////////////////////////////////////////////////////////////// bool FindR(const K& key) { return _FindR(_root, key); } bool InsertR(const K& key) { return _InsertR(_root, key); } bool EraseR(const K& key) { return _EraseR(_root, key); } private: void Destroy(Node* root) { if (root == nullptr) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; } Node* Copy(Node* root) { if (root == nullptr) return nullptr; Node* newRoot = new Node(root->_key); newRoot->_left = Copy(root->_left); newRoot->_right = Copy(root->_right); return newRoot; } bool _EraseR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) { return _EraseR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { return _EraseR(root->_left, key); } else { Node* del = root; if (root->_right == nullptr) { root = root->_left; } else if (root->_left == nullptr) { root = root->_right; } else { Node* rightMin = root->_right; while (rightMin->_left) { rightMin = rightMin->_left; } swap(root->_key, rightMin->_key); return _EraseR(root->_right, key); } delete del; return true; } } bool _InsertR(Node*& root, const K& key) { if (root == nullptr) { root = new Node(key); return true; } if (root->_key < key) { return _InsertR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { return _InsertR(root->_left, key); } else { return false; } } bool _FindR(Node* root, const K& key) { if (root == nullptr) return false; if (root->_key < key) { return _FindR(root->_right, key); } else if (root->_key > key) { return _FindR(root->_left, key); } else { return true; } } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << " "; _InOrder(root->_right); } private: Node* _root = nullptr; };

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

key/value⼆叉搜索树代码实现
template<class K, class V> struct BSTNode { // pair<K, V> _kv; K _key; V _value; BSTNode<K, V>* _left; BSTNode<K, V>* _right; BSTNode(const K& key, const V& value) :_key(key) , _value(value) , _left(nullptr) , _right(nullptr) {} }; template<class K, class V> class BSTree { typedef BSTNode<K, V> Node; public: BSTree() = default; BSTree(const BSTree<K, V>& t) { _root = Copy(t._root); } BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t) { swap(_root, t._root); return *this; } ~BSTree() { Destroy(_root); _root = nullptr; } bool Insert(const K& key, const V& value) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(key, value); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(key, value); if (parent->_key < key) { parent->_right = cur; } else { parent->_left = cur; } return true; } Node* Find(const K& key) { Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { cur = cur->_left; } else { return cur; } } return nullptr; } bool Erase(const K& key) { Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_key < key) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_key > key) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { if (cur->_left == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_right; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_right; else parent->_right = cur->_right; } delete cur; return true; } else if (cur->_right == nullptr) { if (parent == nullptr) { _root = cur->_left; } else { if (parent->_left == cur) parent->_left = cur->_left; else parent->_right = cur->_left; } delete cur; return true; } else { Node* rightMinP = cur; Node* rightMin = cur->_right; while (rightMin->_left) { rightMinP = rightMin; rightMin = rightMin->_left; } cur->_key = rightMin->_key; if (rightMinP->_left == rightMin) rightMinP->_left = rightMin->_right; else rightMinP->_right = rightMin->_right; delete rightMin; return true; } } } return false; } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_key << ":" << root->_value << endl; _InOrder(root->_right); } void Destroy(Node* root) { if (root == nullptr) return; Destroy(root->_left); Destroy(root->_right); delete root; } Node* Copy(Node* root) { if (root == nullptr) return nullptr; Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value); newRoot->_left = Copy(root->_left); newRoot->_right = Copy(root->_right); return newRoot; } private: Node* _root = nullptr; }; int main() { BSTree<string, string> dict; //BSTree<string, string> copy = dict; dict.Insert("left", "左边"); dict.Insert("right", "右边"); dict.Insert("insert", "插⼊"); dict.Insert("string", "字符串"); string str; while (cin>>str) { auto ret = dict.Find(str); if (ret) { cout << "->" << ret->_value << endl; } else { cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl; } } return 0; } int main() { string arr[] = { "苹果", "西⽠", "苹果", "西⽠", "苹果", "苹果", "西⽠", "苹果", "⾹蕉", "苹果", "⾹蕉" }; BSTree<string, int> countTree; for (const auto& str : arr) { // 先查找⽔果在不在搜索树中 // 1、不在，说明⽔果第⼀次出现，则插⼊<⽔果, 1> // 2、在，则查找到的结点中⽔果对应的次数++ //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str); auto ret = countTree.Find(str); if (ret == NULL) { countTree.Insert(str, 1); } else { ret->_value++; } } countTree.InOrder(); return 0; }

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