最优控制和轨迹规划学习笔记 包含多个实际案例 倒立摆上翻控制 满足车辆运动学约束的路径规划 离散点参考线优化 lattice横向距离规划 这段代码包含了三个程序，我们将分别对它们进行详细的分析。 1. 最速降线问题求解 这个程序的主要功能是通过优化算法求解最速降线问题。它应用于物理学、工程学和数学等领域，用于确定两个给定点之间的最速下降路径。 程序的主要思路是通过将路径分成多个小段，然后通过优化算法找到每个小段的最佳下降路径。程序首先定义起点和终点的坐标，然后根据给定的分段数目将路径分成多个小段。接下来，它使用fminunc函数和CostTime函数来进行优化，找到最佳的路径。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和解析解的路径。 CostTime函数是目标函数，它计算路径的总时间。它通过计算每个小段的长度和速度来计算总时间。程序中的for循环用于计算每个小段的长度，并将其加到总时间中。 2. 车辆路径规划 这个程序的主要功能是进行车辆路径规划，以避开给定的障碍物。它应用于自动驾驶、机器人导航和交通控制等领域，用于确定车辆的最佳路径，以避开障碍物并到达目标位置。 程序的主要思路是使用优化算法来找到车辆的最佳路径。程序首先定义车辆的初始位置和障碍物的位置和尺寸。然后，它使用循环来计算横向偏移边界，以确保车辆不会碰到障碍物。接下来，程序使用casadi库来进行优化，定义决策变量和目标函数，并添加约束条件。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和障碍物。 3. 参考点路径规划 这个程序的主要功能是进行参考点路径规划，以使车辆按照给定的参考点行驶。它应用于自动驾驶、机器人导航和路径规划等领域，用于确定车辆的最佳路径，以便它按照给定的参考点行驶。 程序的主要思路是使用优化算法来找到车辆的最佳路径。程序首先定义参考点的坐标和车辆的初始状态和终点状态。然后，它使用casadi库来进行优化，定义决策变量和目标函数，并添加约束条件。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和参考点。 以上是对给定代码的详细分析和解释。这些程序涉及到的知识点包括优化算法、数值计算、路径规划和绘图等。希望这些解释对你有帮助！
在现代智能系统开发中，最优控制与轨迹规划是实现自主决策与运动控制的核心技术之一。针对实际工程问题，直接求解解析解往往不可行，因此数值优化方法成为主流手段。本文基于一组典型的 MATLAB/CasADi 实现代码，系统分析四种代表性轨迹规划与控制问题的建模与求解逻辑：最速降线问题、倒立摆上翻控制、车辆运动学路径规划、以及参考线平滑与横向避障规划。所有案例均采用“离散化 + 非线性规划（NLP）”的统一框架，体现了最优控制问题数值求解的普适范式。
1. 最速降线问题：从变分法到离散优化
最速降线是经典变分问题的代表，目标是寻找一条曲线，使质点在重力作用下从起点滑至终点耗时最短。传统解法依赖欧拉-拉格朗日方程，而现代数值方法则将其转化为有限维优化问题。
在实现中，路径被离散为 N 段折线，仅优化中间点的纵坐标。目标函数为各段滑行时间之和，利用匀加速运动近似速度（$v \propto \sqrt{y}$），并以线段长度除以两端速度平均值估算耗时。该方法虽非严格物理模型，但足以收敛至接近解析解（摆线）的数值轨迹。求解器采用fminunc，属于无约束优化，凸显了问题在离散化后的简洁性。
2. 倒立摆上翻：非线性动力学约束下的最优控制
倒立摆系统是非线性、欠驱动控制的经典测试平台。其挑战在于从下垂稳定态驱动至顶端不稳定平衡点，需精确协调控制输入与系统动力学。
代码采用CasADi + IPOPT框架，将连续时间最优控制问题离散为 N+1 个状态点的序列。核心在于两点：
- 动力学一致性约束：通过符号推导获得摆杆角加速度与小车加速度的显式表达式，并在每个离散节点施加；
- 积分器模型：采用二阶精度的显式积分（位置 = 当前位置 + dt·速度 + 0.5·dt²·加速度），将连续动力学嵌入离散优化。
目标函数最小化控制力平方和（$J = \sum u^2$），既符合能量最优准则，也有助于数值稳定性。初始猜测采用线性插值，有效引导非线性求解器收敛。
3. 车辆运动学路径规划：满足非完整约束的轨迹生成
车辆因前轮转向机制存在非完整约束（无法侧向移动），其路径必须满足特定微分关系。该案例在给定起止位姿（位置+朝向）下，规划一条满足自行车模型运动学约束的可行路径。
离散模型中，状态变量包括 $x, y, \theta$，控制变量为速度 $v$ 和前轮转角 $\delta$。动力学约束以差分形式表达：
$$
\begin{aligned}
最优控制和轨迹规划学习笔记 包含多个实际案例 倒立摆上翻控制 满足车辆运动学约束的路径规划 离散点参考线优化 lattice横向距离规划 这段代码包含了三个程序，我们将分别对它们进行详细的分析。 1. 最速降线问题求解 这个程序的主要功能是通过优化算法求解最速降线问题。它应用于物理学、工程学和数学等领域，用于确定两个给定点之间的最速下降路径。 程序的主要思路是通过将路径分成多个小段，然后通过优化算法找到每个小段的最佳下降路径。程序首先定义起点和终点的坐标，然后根据给定的分段数目将路径分成多个小段。接下来，它使用fminunc函数和CostTime函数来进行优化，找到最佳的路径。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和解析解的路径。 CostTime函数是目标函数，它计算路径的总时间。它通过计算每个小段的长度和速度来计算总时间。程序中的for循环用于计算每个小段的长度，并将其加到总时间中。 2. 车辆路径规划 这个程序的主要功能是进行车辆路径规划，以避开给定的障碍物。它应用于自动驾驶、机器人导航和交通控制等领域，用于确定车辆的最佳路径，以避开障碍物并到达目标位置。 程序的主要思路是使用优化算法来找到车辆的最佳路径。程序首先定义车辆的初始位置和障碍物的位置和尺寸。然后，它使用循环来计算横向偏移边界，以确保车辆不会碰到障碍物。接下来，程序使用casadi库来进行优化，定义决策变量和目标函数，并添加约束条件。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和障碍物。 3. 参考点路径规划 这个程序的主要功能是进行参考点路径规划，以使车辆按照给定的参考点行驶。它应用于自动驾驶、机器人导航和路径规划等领域，用于确定车辆的最佳路径，以便它按照给定的参考点行驶。 程序的主要思路是使用优化算法来找到车辆的最佳路径。程序首先定义参考点的坐标和车辆的初始状态和终点状态。然后，它使用casadi库来进行优化，定义决策变量和目标函数，并添加约束条件。最后，程序使用plot函数绘制出找到的路径和参考点。 以上是对给定代码的详细分析和解释。这些程序涉及到的知识点包括优化算法、数值计算、路径规划和绘图等。希望这些解释对你有帮助！
\Delta x &= v \cdot dt \cdot \cos\theta \\
\Delta y &= v \cdot dt \cdot \sin\theta \\
\Delta \theta &= v \cdot dt \cdot \tan\delta / L
\end{aligned}
$$
目标函数设计巧妙：以 $1000 \cdot dt^2$ 为主项，隐含最小化总时间；同时加入速度变化率项以平滑加速度。该问题虽未显式处理障碍物，但其框架可无缝扩展为带避障约束的完整轨迹规划器。
4. 参考线优化与横向避障：Lattice 规划的优化版本
在自动驾驶高精地图处理中，原始参考线常含噪声或曲率突变，需进行平滑优化。同时，在局部路径规划中，需在避障前提下生成横向偏移轨迹。两个问题共享相似的目标函数结构：
- 贴近原始点：防止过度偏离地图；
- 最小化二阶差分：等价于最小化曲率或加加速度（jerk），保证平滑性；
- 最小化总长度或偏移量：分别用于全局路径优化与局部避障。
约束方面，参考线平滑引入曲率上限（通过二阶差分模长限制），而横向规划则通过预计算的上下边界（ll,lu）编码障碍物信息，并施加横向加速度变化率约束（$\Delta \ddot{l} \leq 0.1\cdot ds$）以满足乘坐舒适性。
值得注意的是，两个问题均可进一步转化为二次规划（QP），如 Apollo 规划模块所示，从而实现毫秒级求解，适用于实时系统。
总结：统一框架下的问题特化
上述四类问题虽应用场景迥异，但共享以下数值求解范式：
- 时间/路径离散化：将无限维函数空间优化转化为有限维参数优化；
- 目标函数分层设计：结合任务目标（时间、能量、平滑性、跟踪精度）构建复合代价；
- 物理/几何约束显式嵌入：将动力学方程或运动学关系作为等式约束；
- 边界与状态约束保障可行性：包括起止条件、执行器限幅、避障区域等；
- 利用高效 NLP/QP 求解器：如 IPOPT 或 OSQP，实现可靠收敛。
这种“建模-离散-优化”流水线已成为机器人、自动驾驶、航空航天等领域轨迹生成的标准实践。未来方向包括：实时迭代重规划、不确定性下的鲁棒优化、以及与学习策略的融合。
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