信奥赛C++提高组csp-s之离散化

1. 什么是离散化？

离散化是一种将无限或大范围的数据映射到有限、连续的小范围内的技术。

为什么需要离散化？

• 数据范围太大，无法直接作为数组下标（如109 ^99）
• 只需要数据的相对大小关系，不需要具体数值
• 节省内存空间
• 便于使用数组、线段树等数据结构

2. 离散化的基本原理

基本思想

原始数据: [1000, 200000, 300, 1000, 5000] 离散化后: [1, 3, 0, 1, 2]

保持原始数据的大小关系不变，但将数值压缩到小范围内。

3. 离散化的实现方法

方法一：排序 + 去重 + 二分查找（最常用）

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;// 离散化函数vector<int>fun(vector<int>&nums){vector<int>tmp=nums;// 1. 排序sort(tmp.begin(),tmp.end());// 2. 去重tmp.erase(unique(tmp.begin(),tmp.end()),tmp.end());// 3. 二分查找映射vector<int>result;for(intx:nums){intpos=lower_bound(tmp.begin(),tmp.end(),x)-tmp.begin();result.push_back(pos);// 或 pos+1 如果要从1开始}returnresult;}

方法二：使用map自动排序和去重

vector<int>fun(vector<int>&nums){vector<int>tmp=nums;sort(tmp.begin(),tmp.end());tmp.erase(unique(tmp.begin(),tmp.end()),tmp.end());unordered_map<int,int>m;for(inti=0;i<tmp.size();i++){m[tmp[i]]=i;}vector<int>result;for(intx:nums){result.push_back(m[x]);}returnresult;}

4. 研究案例

题目背景

曹操平定北方以后，公元 208 年，率领大军南下，进攻刘表。他的人马还没有到荆州，刘表已经病死。他的儿子刘琮听到曹军声势浩大，吓破了胆，先派人求降了。

孙权任命周瑜为都督，拨给他三万水军，叫他同刘备协力抵抗曹操。

隆冬的十一月，天气突然回暖，刮起了东南风。

没想到东吴船队离开北岸大约二里距离，前面十条大船突然同时起火。火借风势，风助火威。十条火船，好比十条火龙一样，闯进曹军水寨。那里的船舰，都挤在一起，又躲不开，很快地都烧起来。一眨眼工夫，已经烧成一片火海。

曹操气急败坏的把你找来，要你钻入火海把连环线上着火的船只的长度统计出来！

题目描述

给定每个起火部分的起点和终点，请你求出燃烧位置的长度之和。

输入格式

第一行一个整数，表示起火的信息条数n nn。
接下来n nn行，每行两个整数a , b a, ba,b，表示一个着火位置的起点和终点（注意：左闭右开）。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入样例 1

3 -1 1 5 11 2 9

输出样例 1

11

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证1 ≤ n ≤ 2 × 10 4 1 \leq n \leq 2 \times 10^41≤n≤2×104，− 2 31 ≤ a < b < 2 31 -2^{31} \leq a < b \lt 2^{31}−231≤a<b<231，且答案小于2 31 2^{31}231。

思路分析

这道题的核心是区间合并问题。给定多个区间（左闭右开），需要计算这些区间覆盖的总长度，重叠部分只计算一次。

解题思路：

1. 离散化：由于坐标范围很大（− 2 31 到 2 31 -2^{31}到2^{31}−231到231），直接开数组会内存溢出，所以需要将坐标离散化
2. 标记覆盖：将每个区间映射到离散化后的坐标上，标记被覆盖的区间段
3. 计算总长：遍历所有离散化后的区间段，累加被标记的区间长度

具体步骤：

1. 读入所有区间，收集所有端点值
2. 对端点进行排序并去重（离散化）
3. 将每个原始区间映射到离散化后的下标范围
4. 用布尔数组标记每个离散化区间段是否被覆盖
5. 累加所有被标记的区间段的长度

代码实现

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;typedefpair<int,int>PII;// 定义区间对类型intn;intmain(){cin>>n;vector<PII>segs;// 存储原始区间vector<int>alls;// 存储所有端点，用于离散化// 读入数据并收集所有端点for(inti=1;i<=n;i++){inta,b;cin>>a>>b;segs.push_back({a,b});// 存储原始区间alls.push_back(a);// 收集左端点alls.push_back(b);// 收集右端点}// 离散化处理sort(alls.begin(),alls.end());// 对所有端点排序// 去重，unique返回去重后的尾迭代器alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());// c数组标记离散化后的区间段是否被覆盖// 每个区间段对应alls中相邻两个端点之间的部分vector<bool>c(alls.size()-1,false);// 处理每个原始区间，标记覆盖的区间段for(autoseg:segs){// 使用二分查找找到端点在离散化数组中的位置intl=lower_bound(alls.begin(),alls.end(),seg.first)-alls.begin();intr=lower_bound(alls.begin(),alls.end(),seg.second)-alls.begin();// 标记[l, r)之间的所有区间段为已覆盖// 注意：这里是i<r，因为是左闭右开区间for(inti=l;i<r;i++){c[i]=true;}}// 计算总长度longlongans=0;for(inti=0;i<c.size();i++){if(c[i]){// 如果第i个区间段被覆盖，累加其长度// 长度 = alls[i+1] - alls[i]ans+=(alls[i+1]-alls[i]);}}cout<<ans<<endl;return0;}

功能分析

1. 数据结构设计

• segs: 存储原始的起火区间
• alls: 存储所有端点坐标，用于离散化
• c: 布尔数组，标记离散化后的每个小区间是否被覆盖

2. 核心算法流程

• 离散化阶段：将所有端点排序、去重，将无限空间映射到有限下标
• 区间映射阶段：将每个原始区间[a,b)映射到离散化后的下标范围[l,r)
• 标记阶段：标记所有被覆盖的离散化区间
• 计算阶段：累加被标记区间的实际长度

3. 关键点说明

• 离散化必要性：坐标范围达到2^31，直接开数组会MLE
• 二分查找优化：lower_bound在有序数组中快速定位坐标
• 区间处理：注意题目是左闭右开区间，循环条件为i<r
• 长度计算：离散化后每个区间段长度需要还原为原始坐标差

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，主要开销在排序和二分查找
• 空间复杂度：O(n)，存储端点数组和标记数组

5. 示例解释

对于输入：

3 -1 1 5 11 2 9

处理过程：

1. 所有端点：-1, 1, 5, 11, 2, 9 → 排序去重后：-1, 1, 2, 5, 9, 11
2. 离散化区间段：[-1,1), [1,2), [2,5), [5,9), [9,11)
3. 标记覆盖：
   • [-1,1) → 覆盖
   • [5,11) → 覆盖[5,9)和[9,11)
   • [2,9) → 覆盖[2,5)和[5,9)
4. 总长度：(-1到1) + (2到5) + (5到9) + (9到11) = 2 + 3 + 4 + 2 = 11

5. 离散化的注意事项

要点总结：

1. 保持顺序：离散化后要保持原始数据的大小关系
2. 去重是必须的：相同的值应该映射到同一个离散值
3. 边界处理：考虑是从0开始还是从1开始（树状数组通常从1开始）
4. 内存管理：离散化数组大小 = 不同元素的个数
5. 查询效率：使用二分查找 O(logn)

常见错误：

// 错误：忘记去重sort(alls.begin(),alls.end());// 缺少：alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());// 错误：二分查找写错// 正确应该是 lower_bound，不是 upper_bound

6. 离散化的时间复杂度分析

7. 练习题推荐

1. 基础练习：

   • 统计每个数出现的次数（数据范围大）
   • 区间和查询（AcWing 802）

2. 进阶练习：

   • 求逆序对数量（配合树状数组）
   • 扫描线问题（矩形面积并）
   • 数星星问题（二维偏序）

8. 模板代码

// 离散化通用模板classDiscretizer{private:vector<int>vals;public:voidadd(intx){vals.push_back(x);}voiddiscretize(){sort(vals.begin(),vals.end());vals.erase(unique(vals.begin(),vals.end()),vals.end());}intget_id(intx){returnlower_bound(vals.begin(),vals.end(),x)-vals.begin()+1;}intsize(){returnvals.size();}};

总结

离散化是信奥赛中的重要技巧，主要用于：

1. 处理大数据范围但数据量小的问题
2. 将数据映射到连续区间，便于使用数组等数据结构
3. 与树状数组、线段树等结合解决统计问题

掌握离散化的关键在于理解其"保持顺序、压缩空间"的核心思想，并熟练运用排序、去重、二分查找这三个基本操作。

更多系列知识，请查看专栏：《信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践》：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13113932.html

各种学习资料，助力大家一站式学习和提升！！！

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";cout<<"############# 冲刺信奥赛拿奖! #############";cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";return0;}

• 一、CSP信奥赛C++通关学习视频课：
  • C++语法基础
  • C++语法进阶
  • C++算法
  • C++数据结构
  • CSP信奥赛数学
  • CSP信奥赛STL
• 二、CSP信奥赛C++竞赛拿奖视频课：
  • 信奥赛csp-j初赛高频考点解析
  • CSP信奥赛C++复赛集训课（12大高频考点专题集训）
• 三、csp高频考点知识详解及案例实践：
  • CSP信奥赛C++之动态规划
  • CSP信奥赛C++之标准模板库STL
  • 信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践
• 四、考级、竞赛刷题题单及题解：
  • GESP C++考级真题题解
  • CSP信奥赛C++初赛及复赛高频考点真题解析
  • CSP信奥赛C++一等奖通关刷题题单及题解

详细内容：

1、csp/信奥赛C++，完整信奥赛系列课程（永久学习）：

https://edu.csdn.net/lecturer/7901 点击跳转

2、CSP信奥赛C++竞赛拿奖视频课：

https://edu.csdn.net/course/detail/40437 点击跳转

3、csp信奥赛高频考点知识详解及案例实践：

CSP信奥赛C++动态规划：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13096895.html点击跳转

CSP信奥赛C++标准模板库STL：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13108077.html 点击跳转

信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13113932.html

4、csp信奥赛冲刺一等奖有效刷题题解：

CSP信奥赛C++初赛及复赛高频考点真题解析（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12808781.html 点击跳转

CSP信奥赛C++一等奖通关刷题题单及题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12673810.html 点击跳转

5、GESP C++考级真题题解：

GESP(C++ 一级+二级+三级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12858102.html 点击跳转

GESP(C++ 四级+五级+六级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12869848.html 点击跳转

· 文末祝福 ·

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";cout<<" 成就更好的自己！ ";cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";return0;}