目录

1.普通FIR滤波器结构

2.从普通FIR到分布式结构的推导

2.1 输入数据位分解

2.2 将乘加运算按“位”拆分

2.3 分布式结构的核心——“查表实现C(b)”

2.4 系数的LUT查找表设计

3.matlab程序设计

本文介绍了分布式算法(DA)在15阶FIR滤波器中的实现方法。该方法通过位分解、查表替代乘法运算，显著降低硬件开销。推导过程包括：输入数据位分解、乘加运算按位拆分、LUT查找表设计等关键步骤。MATLAB程序实现了基于DA的FIR滤波器，包含系数量化、LUT预计算、位分解查表等核心模块。测试结果表明分布式FIR与传统FIR滤波效果一致，验证了算法正确性。该方法特别适合FPGA实现，能有效解决高阶FIR滤波器资源与速度的矛盾。

1.普通FIR滤波器结构

FIR滤波器的输出为乘加运算：

其中，h(k)是滤波器系数，x(n−k)是输入数据。

从上述的公式可知，普通FIR实现方式是先计算每个h(k)⋅x(n−k)，再将结果相加。但乘法器硬件开销大、速度慢，尤其当N较大时，资源与速度矛盾突出。

2.从普通FIR到分布式结构的推导

分布式算法是用“查表 + 移位 + 加法”替代乘法的乘加运算方法，核心是FIR的乘加中系数h(k)是常数，因此可预存“系数与输入位的乘积组合”，通过查表实现快速运算。

分布式结构的推导步骤如下：

2.1 输入数据位分解

将每路M位输入x(n−k)按位展开：

其中，xb​(n−k)∈{0,1}是x(n−k)的第b位（b=0为最低位，b=M−1为符号位）。

2.2 将乘加运算按“位”拆分

将y(n)代入输入的位分解式，按位权重组：

定义位对应的部分和C(b)：

2.3 分布式结构的核心——“查表实现C(b)”

以15阶FIR滤波器为例，对于15阶FIR，每一位b对应的C(b) ，是16路输入的第b位(共16个二进制位xb(n),xb(n−1),…,xb(n−15))的组合，这16个二进制位可作为地址，通过查找表(LUT)直接输出 C(b)(预存所有16位地址对应的∑h(k)*xb(n−k))。

2.4 系数的LUT查找表设计

假设滤波器系数h(k)已通过设计得到浮点值，需先量化为Q位(如12位)补码，再预存到LUT中：

系数量化

将浮点系数hfloat​(k)量化为Q位补码：

预存LUT的内容

对于每一位b，LUT的地址是16路输入的第b位(共2^16=65536个地址)，每个地址的LUT输出：

3.matlab程序设计

%% 15阶分布式FIR滤波器（DA算法）MATLAB实现 clear; clc; close all; %% ===================== 步骤1：设计15阶FIR滤波器系数 ===================== % 滤波器参数：15阶（系数个数16）、低通、截止频率0.2*Fs order = 15; % 滤波器阶数 f_pass = 0.2; % 归一化通带频率（0~0.5） bit_width = 12; % 系数和输入的量化位宽（补码） % 1.1 生成浮点系数（布莱克曼窗） h_float = fir1(order, f_pass, blackman(order+1)); % 1.2 系数量化（12位补码，范围：-2^11 ~ 2^11-1） scale = 2^(bit_width-1) - 1; % 量化缩放因子 h_quant = round(h_float * scale); % 量化为整数 %% ===================== 步骤2：生成测试输入信号 ===================== Fs = 1000; % 采样频率 t = 0:1/Fs:0.25-1/Fs; % 1秒的时间序列 x_clean = sin(2*pi*50*t); % 50Hz正弦波 x_noise = 0.5*randn(size(t)); % 噪声 x = x_clean + x_noise; % 带噪输入信号 % 2.1 输入信号量化（12位补码） x_quant = round(x / max(abs(x)) * scale); % 归一化后量化 x_quant = max(min(x_quant, scale), -scale-1); % 限制在补码范围内 %% ===================== 步骤3：分布式算法（DA）实现 ===================== % 3.1 预构建LUT（查找表）：地址=16位输入位组合，值=对应的部分和C(b) lut_depth = 2^(order+1); % 16位地址，深度65536 LUT = zeros(1, lut_depth); for addr = 0:lut_depth-1 % 提取地址的每一位（对应16路输入的第b位） bits = dec2bin(addr, order+1) - '0'; % 转为二进制数组（0/1） % 计算该地址对应的部分和C(b) = sum(h_quant .* bits) LUT(addr+1) = sum(h_quant .* bits); % MATLAB数组从1开始 end % 3.2 位分解+查表+移位累加 y_da = zeros(size(x_quant)); % 分布式算法输出 M = bit_width; % 输入位宽 delay_line = zeros(1, order+1); % 延迟线（存储x(n),x(n-1),...,x(n-15)） for n = 1:length(x_quant) % 更新延迟线：x(n)进入延迟线，最旧值移出 delay_line = [x_quant(n), delay_line(1:end-1)]; % 初始化累加结果 sum_total = 0; % 按位处理（b从0：最低位 到 M-1：符号位） for b = 0:M-1 % 提取延迟线中每个数的第b位（补码处理） bits_b = zeros(1, order+1); for k = 1:order+1 val = delay_line(k); % 补码位提取：正数直接取位，负数先转补码再取位 if val >= 0 bits_b(k) = bitget(val, b+1); % bitget从1开始计数 else val_comp = 2^M + val; % 负数转补码（无符号） bits_b(k) = bitget(val_comp, b+1); end end % 将16位组合转为地址（十进制） addr = bin2dec(num2str(bits_b)); % 查表得到C(b) C_b = LUT(addr+1); % 移位并累加（符号位b=M-1需取负） if b == M-1 sum_total = sum_total - C_b * 2^b; else sum_total = sum_total + C_b * 2^b; end end % 量化输出（缩放回原范围） y_da(n) = sum_total / scale; end %% ===================== 步骤4：传统FIR实现（对比验证） ===================== y_trad = filtfilt(h_float, 1, x); % 零相位滤波（避免相位偏移） y_trad = y_trad/max(y_trad); y_da = y_da/max(y_da); %% ===================== 步骤5：结果可视化 ===================== figure('Color','w'); subplot(2,1,1); plot(t, x, 'b', 'LineWidth',0.8); title('原始输入信号（50Hz正弦波+噪声）','FontSize',10); xlabel('时间 (s)','FontSize',9); ylabel('幅值','FontSize',9); grid on; grid minor; subplot(2,1,2); plot(t, y_trad, 'r', 'LineWidth',1, 'DisplayName','传统FIR'); hold on; plot(t(1:end-8), y_da(9:end), 'b--', 'LineWidth',1.2, 'DisplayName','分布式FIR'); title('滤波结果对比','FontSize',10); xlabel('时间 (s)','FontSize',9); ylabel('幅值','FontSize',9); legend('Location','best'); grid on; grid minor;

测试结果如下：

红色实线是传统FIR滤波结果，蓝色虚线是分布式FIR结果，两者几乎重合验证了算法的正确性。