UVa 132 Bumpy Objects

问题描述

题目定义了一类“凹凸不平的物体”（Bumpy Objects\texttt{Bumpy Objects}Bumpy Objects）。每个物体由一个多边形表示，已知其质心坐标和按逆时针顺序排列的顶点坐标。

一个物体能够稳定旋转站立的条件是：存在两个顶点，可以用一条不与物体相交的直线将它们连接起来，并且当这条直线水平时，质心位于该直线上方，且严格位于两个端点的投影之间。满足上述条件的这条直线称为物体的基线（base line\texttt{base line}base line）。一个物体通常有多个稳定位置（对应多条基线）。每条基线由其接触到的编号最大的顶点来标识（顶点编号从111开始，按逆时针顺序递增）。

题目要求：对于给定的物体，找到所有稳定位置中，基线标识号最小的那个位置，并输出其基线标识号。

输入包含多个数据集，每个数据集包含：

一个长度小于202020的字符串，表示物体名称。
两个整数，表示质心的坐标。
多对整数，表示多边形顶点的坐标，以0 0结束。
所有数据集以单个#结束。

输出对于每个物体，输出其名称和满足条件的最小基线标识号。

题目分析与建模

关键条件解读

基线定义：基线是连接两个顶点的线段，且线段本身不与多边形相交（即，是多边形的一条“支撑弦”）。
稳定条件：
- 当这条线段被放置为水平时，质心必须在它的正上方。
- 质心在水平方向上的投影，必须严格位于线段两个端点的投影之间（即，不能与端点重合）。
基线标识：由线段接触到的编号最大的顶点决定。因此，我们需要记录每个顶点的原始输入编号。

核心难点与突破口

几何搜索范围：一个凹多边形的潜在基线数量可能很多（任意两个顶点都可能）。但是，根据物理直觉和几何性质，只有凸包（Convex Hull\texttt{Convex Hull}Convex Hull）上的边或弦，才有可能成为有效的基线。为什么？
- 如果一条边在凸包内部，那么它必然与多边形自身相交（因为它穿过了多边形的“内部”），这违反了基线“不与物体相交”的条件。
- 因此，所有有效的基线，其两个端点必然是多边形凸包的顶点。更进一步，基线本身必须是凸包的一条边，或者是凸包的一条弦（连接两个非相邻凸包顶点的线段）。
稳定条件判定：对于一个候选的基线(A,B)(A, B)(A,B)，设其被旋转至水平。要判断质心CCC是否在其上方且投影严格在A,BA, BA,B之间，可以等价于判断以下两个条件（在原始坐标系下）：
- 上方性：质心CCC位于有向直线ABABAB的左侧（假设顶点是逆时针排列，那么多边形内部在每条边的左侧）。用叉积判断：(B−A)×(C−A)>0(B-A) \times (C-A) > 0(B−A)×(C−A)>0。
- 投影在内部：这等价于角∠ACB\angle ACB∠ACB和∠BCA\angle BCA∠BCA都是锐角。如果质心投影在线段端点之外，那么其中一个角将是钝角或直角（当投影与端点重合时）。因此，我们可以通过余弦定理a2+b2>c2a^2 + b^2 > c^2a2+b2>c2来判断一个角是否为锐角。

算法思路

输入与存储：读入物体名称和质心坐标。读入所有顶点，并记录其原始输入序号（从 1 开始）。
求凸包：使用Andrew\texttt{Andrew}Andrew算法（或称单调链算法）求出所有顶点的凸包。该算法能O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)时间内得到按逆时针顺序排列的凸包顶点序列。
枚举候选基线：遍历凸包上的所有边（相邻顶点对）。根据分析，只需检查凸包的边。
- 对于凸包的边(Vi,Vi+1)(V_i, V_{i+1})(Vi,Vi+1)，检查它是否可能是一条有效基线：
  - 条件111：质心CCC是否位于该边的左侧（cw(V_i, V_{i+1}, C)为true）。注意，代码中的cw函数（clockwise\texttt{clockwise}clockwise）判断点是否在向量右侧，由于顶点是逆时针的，多边形内部在左侧，所以这里判断质心在右侧，即从多边形的“外部”看，质心在边的上方。这与分析中的“左侧”是等价的，只是坐标系和判断函数实现的差异。
  - 条件222&333：角∠(C,Vi,Vi+1)\angle (C, V_i, V_{i+1})∠(C,Vi,Vi+1)和角∠(C,Vi+1,Vi)\angle (C, V_{i+1}, V_i)∠(C,Vi+1,Vi)是否都是锐角（isAcuteAngle函数）。
计算基线标识并更新：如果当前凸包的边满足以上三个条件，那么它就是一个稳定位置对应的基线。这条基线接触到的顶点是ViV_iVi和Vi+1V_{i+1}Vi+1。根据题目定义，该基线的标识号为这两个顶点原始编号的较大值。我们需要在所有满足条件的基线中，找到这个标识号的最小值。
输出结果：输出物体名称和找到的最小基线标识号。

复杂度分析

时间复杂度：
- 凸包计算：O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，其中nnn为顶点数。
- 凸包边枚举与条件判断：O(n)O(n)O(n)。
- 总体复杂度为O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，对于n≤100n \leq 100n≤100的数据范围非常高效。
空间复杂度：O(n)O(n)O(n)，用于存储顶点和凸包。

代码实现

// Bumpy Objects// UVa ID: 132// Verdict: Accepted// Submission Date: 2015-12-11// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2015，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;#defineMAX_VERTICES105#defineEPSILON1E-10structpoint{intx;inty;intindex;// 顶点的原始编号};structpolygon{intnumber;// 顶点数point vertex[MAX_VERTICES];// 顶点数组};// 计算叉积 (c - a) x (b - a)intcrossProduct(point a,point b,point c){return(c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(b.x-a.x)*(c.y-a.y);}// 判断点 c 是否在向量 ab 的顺时针方向（右侧）boolcw(point a,point b,point c){returncrossProduct(a,b,c)>EPSILON;}// 判断点 c 是否在向量 ab 的逆时针方向（左侧）boolccw(point a,point b,point c){returncrossProduct(a,b,c)<-EPSILON;}// 判断三点是否共线boolcollinear(point a,point b,point c){returnfabs(crossProduct(a,b,c))<=EPSILON;}// 判断点 c 在向量 ab 的左侧或共线boolccwOrCollinear(point a,point b,point c){returnccw(a,b,c)||collinear(a,b,c);}// 排序比较函数：先按 y 坐标升序，y 相同则按 x 坐标升序boollowerLeft(point a,point b){return(a.y==b.y)?(a.x<b.x):(a.y<b.y);}// Andrew 凸包算法（单调链）voidandrewConvexHull(point vertex[],intnumber,polygon&hull){// 1. 按 lowerLeft 规则排序sort(vertex,vertex+number,lowerLeft);point upper[MAX_VERTICES],lower[MAX_VERTICES];inttop;// 2. 构造上凸包upper[0]=vertex[0];upper[1]=vertex[1];top=2;for(inti=2;i<number;i++){upper[top]=vertex[i];// 当新点导致上凸包出现“右转”或“直行”时，删除栈顶的点while(top>=2&&ccwOrCollinear(upper[top-2],upper[top-1],upper[top])){upper[top-1]=upper[top];top--;}top++;}// 将上凸包的点存入结果 hullhull.number=0;for(inti=0;i<top;i++)hull.vertex[hull.number++]=upper[i];// 3. 构造下凸包lower[0]=vertex[number-1];lower[1]=vertex[number-2];top=2;for(inti=number-3;i>=0;i--){lower[top]=vertex[i];// 同理，删除导致“右转”或“直行”的点while(top>=2&&ccwOrCollinear(lower[top-2],lower[top-1],lower[top])){lower[top-1]=lower[top];top--;}top++;}// 将下凸包的点（去掉首尾，避免重复）加入结果 hullfor(inti=1;i<top-1;i++)hull.vertex[hull.number++]=lower[i];}// 计算两点距离的平方（避免开方）doubledistances(point a,point b){returnpow(a.x-b.x,2)+pow(a.y-b.y,2);}// 根据余弦定理判断角 abc 是否为锐角。// 对于角 ABC，边为 a = |B-C|, b = |A-C|, c = |A-B|。// 余弦定理：cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)。// 角 B 为锐角当且仅当 cos(B) > 0，即 a^2 + c^2 - b^2 > 0。boolisAcuteAngle(point a,point b,point c){doubleA=distances(b,c),B=distances(a,c),C=distances(a,b);return(A+C-B)>0;}// 在凸包中寻找最小基线编号intlowestNumber(polygon pg,point center,intnumber){intminNumber=number;// 初始化为顶点总数（一个上界）for(inti=0;i<pg.number;i++){point p1=pg.vertex[i];point p2=pg.vertex[(i+1)%pg.number];// 检查三个条件：// 1. 质心在凸包边的“上方”（cw 判断）// 2. 角 <center, p1, p2> 是锐角// 3. 角 <center, p2, p1> 是锐角if(cw(p1,p2,center)&&isAcuteAngle(p1,p2,center)&&isAcuteAngle(p2,p1,center)){// 基线标识号为两个端点原始编号的较大值intlineNumber=max(p1.index,p2.index);minNumber=min(minNumber,lineNumber);}}returnminNumber;}intmain(){point tile[MAX_VERTICES],centerOfMass;polygon container;string name;// 循环读取每个物体，直到遇到 "#"while(cin>>name,name!="#"){cout<<name;// 先输出名称cin>>centerOfMass.x>>centerOfMass.y;intx,y,number=0;// 读取顶点，直到遇到 0 0while(cin>>x>>y,x||y){// 存储顶点，并记录其原始序号（从1开始）tile[number]=(point){x,y,number+1};number++;}// 计算顶点的凸包andrewConvexHull(tile,number,container);// 在凸包上寻找最小基线标识号并输出cout<<" "<<lowestNumber(container,centerOfMass,number)<<endl;}return0;}