题目描述
这是一个关于约瑟夫问题变种的问题。题目背景源于历史学家弗拉维奥·约瑟夫斯的记载：在公元676767年的罗马-犹太冲突中，约瑟夫斯与404040名同伴被困在一个洞穴中。为了避免被俘，他们决定围成一个圈，按照一定规则轮流自杀。传统说法是，从某个人开始，顺时针数到第333个人就杀掉，直到只剩一人。约瑟夫斯通过计算找到了自己存活的位置。
在本题中，规则稍有不同：
- n>0n > 0n>0个人围成一个圆圈，顺时针编号为111到nnn。你的编号是111。
- 给定一个起始编号iii和一个步长kkk(k>0k > 0k>0) 。
- 从iii开始，顺时针数kkk个人，杀掉这个人。
- 然后，从被杀害者左边的人开始，再顺时针数kkk个人，选中的人负责埋葬死者，然后回到死者的位置上。
- 接着，从刚才那个埋葬者的左边的人开始，继续顺时针数kkk个人并杀掉，重复这个过程，直到只剩一个人。
题目要求：对于给定的nnn和kkk，你的程序需要找出起始编号iii（1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n），使得在这个iii开始的游戏中，编号为111的人（也就是你）是最后的幸存者。
输入格式：每行包含两个整数nnn和kkk。输入以一行0 0结束。n≤100n \leq 100n≤100。
输出格式：对于每行输入，输出一个整数，即能确保你存活的安全起始位置iii。
样例输入：
5 2 1 5 0 0样例输出：
3 1解题思路分析
本题是一个典型的模拟+++数学推导问题。由于n≤100n \leq 100n≤100，规模较小，可以直接通过模拟游戏过程来解决。核心是：对于给定的nnn和kkk，我们不知道起始位置iii，但我们需要找到一个iii，使得从iii开始执行上述规则后，编号111的人最后存活。
一个直接的方法是：对于每个可能的起始位置iii(1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n)，都模拟一遍游戏过程，检查编号111的人是否幸存。如果幸存，则输出这个iii。由于n≤100n \leq 100n≤100，最坏情况模拟100100100次，每次最多进行n−1n-1n−1轮淘汰，每轮需要遍历寻找被杀者和埋葬者，总时间复杂度约为O(n3)O(n^3)O(n3)，在n=100n=100n=100时完全可行。
然而，我们可以采用了另一种更高效、基于“对称性”的巧妙思路：
- 固定起始位置为111进行模拟：即假设游戏从编号1的人开始数（i=1i=1i=1）。我们模拟整个游戏过程，直到只剩一个人，记录下这个幸存者的编号，记为sss。
- 利用圆的对称性推导所求的iii：当我们固定从111开始，最终幸存者是sss。现在，我们想知道：如果想让编号111的人存活，应该从哪个位置iii开始？
- 考虑一个简单的对应关系：如果我们把整个圆圈逆时针旋转，使得原来编号为sss的人现在处于“起始位置”（即原来编号111的位置），那么在这个新的旋转后的圆圈里，从位置111开始游戏，最后的幸存者就会是原来编号为111的人（因为他现在处于原来sss的位置）。
- 如何得到这个旋转量？从编号111的位置逆时针数到sss的位置，需要经过多少人？从111到sss（顺时针编号增大），顺时针移动s−1s-1s−1步到达sss。那么，从111逆时针移动到sss，相当于顺时针移动n−(s−1)=n−s+1n - (s-1) = n - s + 1n−(s−1)=n−s+1步。
- 更准确地说，如果我们从编号xxx开始游戏能使得编号111存活，那么当我们固定从111开始游戏时，幸存者sss的位置，就应该是从xxx开始逆时针到111的距离所对应的那个人。公式推导结果为：安全起始位置i=(n−s+1) mod n+1i = (n - s + 1) \bmod n + 1i=(n−s+1)modn+1。这里取模nnn再加111是为了处理s=1s=1s=1时i=1i=1i=1的情况。
因此，算法步骤为：
- 对于每组(n,k)(n, k)(n,k)。
- 模拟游戏，设定起始被杀位置
killed初始为(k-1) % n（因为从编号111开始，即下标000开始，数kkk个人，第一个被杀的是下标(k-1)%n）。 - 进行循环，直到只剩一人：
a. 找到当前killed（被杀者）。
b. 找到埋葬者burier：从被杀者左边开始，再数kkk个人。
c. 将burier的位置“移动”到killed的位置（即victim[killed] = victim[burier]），然后从列表中删除burier的位置（相当于埋葬者占据了死者的位置，原埋葬者位置空出）。
d. 更新下一次计数的起点killed为当前killed位置的下一个位置（顺时针方向）。 - 模拟结束后，得到幸存者编号sss。
- 输出安全起始位置i=(n−s+1) mod n+1i = (n - s + 1) \bmod n + 1i=(n−s+1)modn+1。
代码实现分析
以下给出了三种能够获得通过的代码，它们核心思路一致，但在数据结构和模拟细节上略有不同。
实现一：（使用vector，原地调整）
这是最简洁的实现。使用vector<int>动态维护当前圆圈中的人。
killed记录当前轮次要被杀的人的下标。- 计算
burier时，考虑从killed左边开始数kkk个人，由于burier不能是killed自己，所以计算时需要跳过killed位置。代码通过(burier + (burier >= killed)) % victim.size()来调整，确保在删除burier元素后，killed指向正确的新元素。 - 删除
burier后，更新killed为下一轮起点。
实现二：（使用固定数组，标记法）
使用固定大小数组circle，用0标记该位置的人已离开圆圈（被杀或已移动）。
- 定义了
findCW函数，从给定start下标开始，顺时针数count个还在圈内的人，返回其下标。这里通过两层循环模拟环形遍历。 - 模拟过程：先找到被杀者
killed，将其标记为0。再找到埋葬者burier，将burier的值赋给killed位置（埋葬者移动到死者位置），然后将burier标记为0。 - 下一轮起点
killed设为(killed + 1) % n。 - 最后遍历数组找到幸存者编号sss。
实现三：（使用vector\texttt{vector}vector，标记法）
与实现二类似，但使用vector<int>而非固定数组，逻辑几乎相同，只是将数组操作改为vector\texttt{vector}vector操作。
总结
本题的关键在于理解约瑟夫问题的变种规则，并利用对称性将“寻找安全起始位置”转化为“固定起始位置模拟求幸存者，再通过公式转换”。三种实现都采用了这一核心思想，主要区别在于数据结构的选择和模拟过程中下标处理的细节。由于数据规模小，三种方法都能在时间内高效运行。
参考代码
代码一
// Roman Roulette// UVa ID: 130// Verdict: Accepted// Submission Date: 2015-12-10// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2015，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(intargc,char*argv[]){intn,k;while(cin>>n>>k,n||k){vector<int>victim;for(inti=1;i<=n;i++)victim.push_back(i);intkilled=(k-1)%victim.size(),burier;while(victim.size()>1){burier=(killed-1+k)%(victim.size()-1);burier=(burier+(burier>=killed))%victim.size();victim[killed]=victim[burier];victim.erase(victim.begin()+burier);killed=(killed-(burier<killed)+k)%victim.size();}cout<<(n-victim.front()+1)%n+1<<endl;}return0;}代码二
// Roman Roulette// UVa ID: 130// Verdict: Accepted// Submission Date: 2015-12-10// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2015，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAX_NUMBER=100;intn,k;intcircle[MAX_NUMBER+1];// 模拟计数的过程。intfindCW(intstart,intcount){for(inti=start;i<n;i++)if(circle[i]>0&&((--count)==0))returni;while(true){for(inti=0;i<n;i++)if(circle[i]>0&&((--count)==0))returni;}}// 找到幸存者的编号。intfindSurvivor(){for(inti=0;i<n;i++)if(circle[i]>0)returncircle[i];}intmain(intargc,char*argv[]){intcounter;while(cin>>n>>k,n||k){counter=n;for(inti=1;i<=n;i++)circle[i-1]=i;intkilled=0,burier;while(counter>1){killed=findCW(killed,k);circle[killed]=0;burier=findCW(killed,k);circle[killed]=circle[burier];circle[burier]=0;// 根据题意，往顺时针方向移动一个位置开始下一轮计数。killed=(killed+1)%n;counter--;}// 根据环形对称，假设幸存者的编号为s，那么从编号为1的人往逆时针// 方向数s个人，然后从此位置开始计数，则幸存者为原编号为1的人。cout<<(n-findSurvivor()+1)%n+1<<endl;}return0;}代码三
// Roman Roulette// UVa ID: 130// Verdict: Accepted// Submission Date: 2015-12-10// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有（C）2015，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;vector<int>circle;// 模拟计数的过程。intfindCW(intstart,intcount){for(inti=start;i<circle.size();i++)if(circle[i]>0&&((--count)==0))returni;while(true){for(inti=0;i<circle.size();i++)if(circle[i]>0&&((--count)==0))returni;}}// 找到幸存者的编号。intfindSurvivor(){for(inti=0;i<circle.size();i++)if(circle[i]>0)returncircle[i];}intmain(intargc,char*argv[]){intn,k;while(cin>>n>>k,n||k){circle.clear();for(inti=1;i<=n;i++)circle.push_back(i);intkilled=0,burier;while(n>1){killed=findCW(killed,k);circle[killed]=0;burier=findCW(killed,k);circle[killed]=circle[burier];circle[burier]=0;// 根据题意，往顺时针方向移动一个位置开始下一轮计数。killed=(killed+1)%circle.size();n--;}// 根据环形对称，假设幸存者的编号为s，那么从编号为1的人往逆时针方向数s// 个人，然后从此位置开始计数，则幸存者为原编号为1的人。cout<<(circle.size()-findSurvivor()+1)%circle.size()+1<<endl;}return0;}
