方差分析：多因素影响下的统计推断方法与实践

在科学研究与生产实践中，人们常常需要分析多个因素对某一指标的影响。例如，比较不同工艺对灯泡寿命的影响、分析化肥与小麦品种对产量的作用、探究地理位置与广告形式对商品销量的作用等。这类问题的核心是检验多个总体的均值是否相等，若仍采用两两总体均值检验的方法，不仅效率低下，还会增加犯错误的概率。方差分析（Analysis Of Variance，简称 ANOVA）作为一种高效的统计推断方法，能够同时检验多个因素对指标的影响程度，精准鉴别显著影响因素，为决策提供科学依据。本文将系统阐述方差分析的核心原理、分类及 Matlab 实现，深入解析单因素、双因素方差分析及正交试验设计的应用逻辑。

一、方差分析的基本概念与核心思想

1.1 基本术语界定

方差分析的研究体系包含三个核心术语：

• 指标：人们关心的试验结果，如灯泡寿命、小麦产量、商品销量等，是量化分析的对象；
• 因素（因子）：试验中需要考察、可控制的条件，如工艺类型、化肥种类、地理位置等，分为单因素（仅一个影响因素）和多因素（两个及以上影响因素）；
• 水平：因素所处的具体状态，如工艺 A1、A2、A3，化肥 A1、A2、A3、A4 等，每个因素的不同水平构成了试验的分组依据。

1.2 核心思想与基本假设

方差分析的核心思想是通过分解数据的总变异，将因素影响与随机误差分离，进而检验因素是否显著。数据的总变异（总平方和）可分解为两部分：