8.2 磁悬浮刚性转子动力学：基于磁轴承支承的转子系统建模与稳定性分析

磁悬浮轴承的最终目标是实现转子在五个受控自由度上的稳定、高性能悬浮与旋转。第5.1节所述的单自由度模型揭示了系统稳定性的基本原理，但实际转子是一个具有质量分布和转动惯量的连续体，其动力学行为远较单质量点复杂。当转子的第一阶弯曲固有频率远高于其工作转速范围时，可将其简化为刚性转子。对磁悬浮刚性转子系统进行精确的动力学建模与稳定性分析，是设计可靠控制器、预测系统动态响应、避免有害振动耦合及确保全转速范围内稳定运行的前提。本节将系统阐述基于磁轴承支承的刚性转子系统建模方法，并深入分析其闭环稳定性问题。

8.2.1 刚性转子模型与坐标定义

一个在空间自由运动的刚性转子具有六个自由度：三个平动和三个转动。在磁悬浮轴承系统中，绕主轴（z轴）的旋转自由度通常不被主动约束，因此需要控制的是剩余的五个自由度：两个径向平动（x, y方向）、轴向平动（z方向）和两个径向倾斜（绕x轴和y轴的转动，或称章动与进动）。

为描述转子运动，通常建立两个坐标系：一个与惯性空间固连的定坐标系O−XYZO-XYZO−XYZ，和一个与转子固连、随其一同绕Z轴以角速度Ω\OmegaΩ旋转的动坐标系。对于线性化分析，常在转子几何中心CCC（或质心GGG，若两者不重合）处建立描述其微小振动的平动-转动模型。常用的状态变量包括：

• 转子几何中心CCC在XXX和YYY方向的平动位移：xcx_cxc​,ycy_cyc​
• 转子绕XXX和YYY轴的角位移（倾斜角）：αx\alpha_xαx​,αy\alpha_yαy​（通常以小角度近似，αx≈−dz/dy\alpha_x \approx -dz/dyαx​≈−dz/dy,αy≈dz/dx\alpha_y \approx dz/dxαy​≈dz/dx）
• 轴向位移：zcz_czc​（通常与径向运动解耦分析）

对于径向动力学，常将xcx_cxc​,ycy_cyc​,αx\alpha_xαx​,αy\alpha_yαy​四个自由度作为耦合对象进行研究。

8.2.2 磁轴承支承力模型与交叉耦合

刚性转子的动力学方程由牛顿-欧拉方程描述，其核心是确定作用在转子上的力与力矩。对于由两个径向磁轴承（AMB-A和AMB-B）支承的转子，每个轴承在局部坐标系下提供两个径向力FxAF_{xA}FxA​,FyAF_{yA}FyA​,FxBF_{xB}FxB​,FyBF_{yB}FyB​。

基于第5.1节的线性化模型，并考虑实际磁轴承可能存在的力耦合，单个径向磁轴承（例如AMB-A）作用于转子的力在其局部坐标下可表示为：
$$
\begin{bmatrix}
F_{xA} \
F_{yA}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
k_{ix} & 0 \
0 & k_{iy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_{xA} \
i_{yA}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
k_{sx} & k_{cxy} \
k_{cyx} & k_{sy}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_A \
y_A
\end{bmatrix}
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