信奥赛C++提高组csp-s之拓扑排序详解

一、拓扑排序基本概念

拓扑排序(Topological Sort)是对有向无环图(DAG)的一种线性排序，使得对于图中的每一条有向边(u, v)，u在排序中总是位于v的前面。

基本性质：

1. 只有有向无环图(DAG)才有拓扑排序
2. 一个DAG可能有多个拓扑排序结果
3. 拓扑排序不唯一

二、拓扑排序算法实现

Kahn算法（基于入度）

算法步骤：

1. 计算所有节点的入度

2. 将所有入度为0的节点加入队列

3. 当队列不为空时：

   • 取出队首节点u，加入结果
   • 移除u的所有出边，即u的邻接节点v的入度减1
   • 如果v的入度变为0，将v加入队列

4. 如果结果包含所有节点，则成功；否则图中存在环

   
   
   

三、研究案例:判环

题目描述

一个图，有n个节点，及m条有向边，判断该图是否有环。

输入格式

第一行两个整数n和m，表示节点数和边数。
接下来m行，每行两个整数u和v，表示一条有向边从u指向v（节点编号从1开始，或者0开始，这里我们假设从1开始）。

输出格式

如果存在环，输出"存在环"，否则输出拓扑排序的结果（任意一种即可）。

数据规模

• 节点数：1 ≤ n ≤10 5 10^5105
• 边数：0 ≤ m ≤10 5 10^5105

输入输出样例

样例1：无环图
输入：

5 5 1 2 1 3 2 4 3 4 4 5

输出：

1 2 3 4 5

样例2：有环图
输入：

3 3 1 2 2 3 3 1

输出：

存在环

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intn,m;// n: 节点数, m: 边数intmain(){// 输入节点数和边数cin>>n>>m;// 邻接表存储图结构，g[i]存储节点i指向的所有节点vector<vector<int>>g(n+1);// 入度统计数组，d[i]表示节点i的入度（指向该节点的边数）vector<int>d(n+1,0);// 读入所有边并构建图for(inti=1;i<=m;i++){intu,v;cin>>u>>v;// 读入一条从u到v的有向边g[u].push_back(v);// 将v添加到u的邻接表中d[v]++;// v节点的入度增加}queue<int>q;// 用于拓扑排序的队列（存储当前入度为0的节点）vector<int>topo;// 存储拓扑排序结果// 将所有初始入度为0的节点加入队列for(inti=1;i<=n;i++){if(d[i]==0){q.push(i);}}// 拓扑排序核心过程（Kahn算法）while(!q.empty()){intu=q.front();// 取出一个入度为0的节点q.pop();topo.push_back(u);// 加入拓扑序列// 遍历当前节点的所有后继节点for(intv:g[u]){d[v]--;// 移除u->v边，v的入度减1if(d[v]==0){// 如果v的入度变为0q.push(v);// 将v加入队列}}}// 判断是否存在环if(topo.size()!=n){// 拓扑序列长度不足n，说明存在环cout<<"存在环";}else{// 输出拓扑排序结果for(intnode:topo){cout<<node<<" ";}}return0;}

功能分析：

该程序实现了有向图环检测与拓扑排序功能，使用经典的Kahn算法：

1. 图表示与初始化：

   • 使用邻接表g存储图结构（空间效率高，适合稀疏图）
   • 使用入度数组d记录每个节点的入度值

2. 拓扑排序过程：

   • 初始化：将所有入度为0的节点加入队列
   • 循环处理：
     1. 从队列取出节点加入拓扑序列
     2. 将该节点的所有后继节点入度减1
     3. 若减1后入度变为0，则加入队列
   • 终止条件：队列为空

3. 环检测：

   • 拓扑序列长度 = n → 无环，输出拓扑序列
   • 拓扑序列长度 < n → 存在环（剩余节点形成环）

4. 算法特性：

   • 时间复杂度：O(n+m)（每个节点和边各处理一次）
   • 空间复杂度：O(n+m)（存储图结构和辅助数据结构）
   • 结果特性：拓扑排序结果不唯一（与入度为0节点的处理顺序有关）

算法原理图解：

样例1：无环图 (5节点) 1 → 2 → 4 → 5 1 → 3 → 4 入度初始化: 节点: 1 2 3 4 5 入度: 0 1 1 2 1 处理过程: 1. 节点1入度0 → 加入队列 2. 处理节点1 → 2、3入度减1 → 2入度0入队，3入度0入队 3. 处理节点2 → 4入度减1(1) → 不入队 4. 处理节点3 → 4入度减1(0) → 入队 5. 处理节点4 → 5入度减1(0) → 入队 6. 处理节点5 结果: [1,2,3,4,5]（或[1,3,2,4,5]）

样例2：有环图 (3节点) 1 → 2 → 3 → 1 入度初始化: 节点: 1 2 3 入度: 1 1 1 处理过程: 所有节点入度>0 → 队列始终为空 拓扑序列长度0 ≠ 3 → 存在环

四、拓扑排序常见应用场景

1. 任务调度：确定任务执行的先后顺序
2. 课程安排：解决课程先修关系问题
3. 依赖解析：如软件包依赖、编译顺序等
4. 死锁检测：通过检测环来判断系统是否会出现死锁
5. 关键路径：在AOE网中计算关键路径

各种学习资料，助力大家一站式学习和提升！！！

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){cout<<"########## 一站式掌握信奥赛知识! ##########";cout<<"############# 冲刺信奥赛拿奖! #############";cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";return0;}

• 一、CSP信奥赛C++通关学习视频课：
  • C++语法基础
  • C++语法进阶
  • C++算法
  • C++数据结构
  • CSP信奥赛数学
  • CSP信奥赛STL
• 二、CSP信奥赛C++竞赛拿奖视频课：
  • 信奥赛csp-j初赛高频考点解析
  • CSP信奥赛C++复赛集训课（12大高频考点专题集训）
• 三、csp高频考点知识详解及案例实践：
  • CSP信奥赛C++之动态规划
  • CSP信奥赛C++之标准模板库STL
  • 信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践
• 四、考级、竞赛刷题题单及题解：
  • GESP C++考级真题题解
  • CSP信奥赛C++初赛及复赛高频考点真题解析
  • CSP信奥赛C++一等奖通关刷题题单及题解

详细内容：

1、csp/信奥赛C++，完整信奥赛系列课程（永久学习）：

https://edu.csdn.net/lecturer/7901 点击跳转

2、CSP信奥赛C++竞赛拿奖视频课：

https://edu.csdn.net/course/detail/40437 点击跳转

3、csp信奥赛高频考点知识详解及案例实践：

CSP信奥赛C++动态规划：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13096895.html点击跳转

CSP信奥赛C++标准模板库STL：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13108077.html 点击跳转

信奥赛C++提高组csp-s知识详解及案例实践：
https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_13113932.html

4、csp信奥赛冲刺一等奖有效刷题题解：

CSP信奥赛C++初赛及复赛高频考点真题解析（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12808781.html 点击跳转

CSP信奥赛C++一等奖通关刷题题单及题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12673810.html 点击跳转

5、GESP C++考级真题题解：

GESP(C++ 一级+二级+三级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12858102.html 点击跳转

GESP(C++ 四级+五级+六级)真题题解（持续更新）：https://blog.csdn.net/weixin_66461496/category_12869848.html 点击跳转

· 文末祝福 ·

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intmain(){cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";cout<<" 成就更好的自己！ ";cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";return0;}