基于几何非线性梁理论和数值增量迭代法的MATLAB求解程序

核心理论与数值方法

大变形悬臂梁的分析需要使用几何非线性有限元方法，核心在于考虑位移与应变的非线性关系。本程序采用以下方法：

增量载荷法：将总载荷分为多个小步逐步施加
牛顿-拉弗森迭代：在每步载荷增量内进行平衡迭代
更新拉格朗日格式：每个迭代步更新几何构型
欧拉-伯努利梁单元：考虑梁的弯曲变形

MATLAB程序实现

%% 大变形悬臂梁非线性分析程序clear;close all;clc;%% 1. 参数设置L=1000;% 梁长度 (mm)h=20;% 梁高度 (mm)b=10;% 梁宽度 (mm)E=210e3;% 弹性模量 (MPa)P_total=50;% 总载荷 (N)n_elements=20;% 单元数量n_load_steps=50;% 载荷步数tolerance=1e-6;% 收敛容差max_iterations=20;% 最大迭代次数%% 2. 初始化n_nodes=n_elements+1;P_step=P_total/n_load_steps;% 每步载荷增量% 节点坐标（初始构型）nodes=linspace(0,L,n_nodes)';% 自由度编号：每个节点3个自由度 (u, w, θ)dof_per_node=3;total_dof=n_nodes*dof_per_node;% 连接关系elements=zeros(n_elements,2);fori=1:n_elementselements(i,:)=[i,i+1];end% 初始化位移、力向量U=zeros(total_dof,1);% 总位移F_ext=zeros(total_dof,1);% 外载荷向量F_int=zeros(total_dof,1);% 内力向量% 梁截面属性A=b*h;% 截面面积I=b*h^3/12;% 截面惯性矩%% 3. 载荷增量循环displacement_history=zeros(n_load_steps,1);load_history=zeros(n_load_steps,1);forstep=1:n_load_stepsfprintf('载荷步 %d/%d, 当前载荷: %.2f N\n',step,n_load_steps,step*P_step);% 施加当前步的载荷增量（自由端竖向集中力）F_ext(end-1)=step*P_step;% 倒数第二个自由度为竖向位移% 牛顿-拉弗森迭代U_current=U;converged=false;foriter=1:max_iterations% 3.1 计算单元刚度矩阵和内力（考虑几何非线性）[K_global,F_int]=assembleGlobalStiffness(nodes,elements,U_current,...E,A,I,dof_per_node);% 3.2 应用边界条件（固定端：节点1完全固定）fixed_dofs=[1,2,3];% 第一个节点的3个自由度free_dofs=setdiff(1:total_dof,fixed_dofs);% 3.3 计算不平衡力R=F_ext(free_dofs)-F_int(free_dofs);% 3.4 检查收敛ifnorm(R)<tolerance converged=true;fprintf(' 迭代 %d: 收敛, 不平衡力范数 = %.2e\n',iter,norm(R));break;end% 3.5 求解位移增量K_reduced=K_global(free_dofs,free_dofs);delta_U=K_reduced\R;% 3.6 更新位移U_current(free_dofs)=U_current(free_dofs)+delta_U;fprintf(' 迭代 %d: 不平衡力范数 = %.2e\n',iter,norm(R));endif~convergedwarning('载荷步 %d 未收敛!',step);end% 保存当前步结果U=U_current;displacement_history(step)=U(end-1);% 自由端竖向位移load_history(step)=step*P_step;% 每5步绘制当前变形形态ifmod(step,5)==0plotDeformedShape(nodes,U,step,L);endend%% 4. 结果可视化figure('Position',[100,100,1200,400]);% 4.1 载荷-位移曲线subplot(1,3,1);plot(displacement_history,load_history,'b-o','LineWidth',1.5);xlabel('自由端竖向位移 (mm)');ylabel('载荷 (N)');title('载荷-位移曲线 (非线性)');grid on;% 线性理论解对比P_linear=linspace(0,P_total,100);delta_linear=P_linear*L^3/(3*E*I);hold on;plot(delta_linear,P_linear,'r--','LineWidth',1.5);legend('非线性解','线性理论解','Location','best');% 4.2 最终变形形态subplot(1,3,2);plotFinalDeformation(nodes,U,L);% 4.3 收敛历史subplot(1,3,3);plot(1:length(displacement_history),displacement_history,'k-s',...'LineWidth',1.5,'MarkerFaceColor','g');xlabel('载荷步');ylabel('自由端位移 (mm)');title('收敛历史');grid on;%% 5. 输出关键结果fprintf('\n======= 分析结果 =======\n');fprintf('梁长度: %.1f mm\n',L);fprintf('截面尺寸: %.1f × %.1f mm\n',b,h);fprintf('弹性模量: %.0f MPa\n',E);fprintf('最终载荷: %.1f N\n',P_total);fprintf('自由端竖向位移: %.2f mm (非线性)\n',displacement_history(end));fprintf('自由端竖向位移: %.2f mm (线性理论)\n',P_total*L^3/(3*E*I));fprintf('位移放大系数: %.2f\n',displacement_history(end)/(P_total*L^3/(3*E*I)));%% 6. 辅助函数定义function[K_global,F_int]=assembleGlobalStiffness(nodes,elements,U,E,A,I,dof_per_node)n_elements=size(elements,1);total_dof=length(nodes)*dof_per_node;K_global=zeros(total_dof,total_dof);F_int=zeros(total_dof,1);fore=1:n_elements% 获取单元节点编号node1=elements(e,1);node2=elements(e,2);% 获取节点坐标（当前构型）x1=nodes(node1);x2=nodes(node2);% 获取节点位移dof_index1=(node1-1)*dof_per_node+(1:dof_per_node);dof_index2=(node2-1)*dof_per_node+(1:dof_per_node);u_e=[U(dof_index1);U(dof_index2)];% 单元长度和转换矩阵L0=x2-x1;% 初始长度L_current=L0;% 此处简化，实际应考虑位移引起的长度变化% 线性刚度矩阵（小变形）k_linear=elementStiffness(E,A,I,L0);% 几何刚度矩阵（考虑轴力效应）% 计算当前轴力（简化估计）N=E*A*(L_current-L0)/L0;% 轴力k_geo=geometricStiffness(N,L0);% 总刚度矩阵k_element=k_linear+k_geo;% 组装到全局矩阵dof_indices=[dof_index1,dof_index2];K_global(dof_indices,dof_indices)=K_global(dof_indices,dof_indices)+k_element;% 计算单元内力F_int(dof_indices)=F_int(dof_indices)+k_element*u_e;endendfunctionk=elementStiffness(E,A,I,L)% 欧拉-伯努利梁单元刚度矩阵（局部坐标系）k=zeros(6,6);% 轴向刚度EA_L=E*A/L;k(1,1)=EA_L;k(1,4)=-EA_L;k(4,1)=-EA_L;k(4,4)=EA_L;% 弯曲刚度EI_L3=E*I/L^3;k(2,2)=12*EI_L3;k(2,3)=6*EI_L3*L;k(2,5)=-12*EI_L3;k(2,6)=6*EI_L3*L;k(3,2)=6*EI_L3*L;k(3,3)=4*EI_L3*L^2;k(3,5)=-6*EI_L3*L;k(3,6)=2*EI_L3*L^2;k(5,2)=-12*EI_L3;k(5,3)=-6*EI_L3*L;k(5,5)=12*EI_L3;k(5,6)=-6*EI_L3*L;k(6,2)=6*EI_L3*L;k(6,3)=2*EI_L3*L^2;k(6,5)=-6*EI_L3*L;k(6,6)=4*EI_L3*L^2;endfunctionk_geo=geometricStiffness(N,L)% 几何刚度矩阵（考虑轴力）k_geo=zeros(6,6);ifN==0return;endfactor=N/(30*L);k_geo(2,2)=36;k_geo(2,3)=3*L;k_geo(2,5)=-36;k_geo(2,6)=3*L;k_geo(3,2)=3*L;k_geo(3,3)=4*L^2;k_geo(3,5)=-3*L;k_geo(3,6)=-L^2;k_geo(5,2)=-36;k_geo(5,3)=-3*L;k_geo(5,5)=36;k_geo(5,6)=-3*L;k_geo(6,2)=3*L;k_geo(6,3)=-L^2;k_geo(6,5)=-3*L;k_geo(6,6)=4*L^2;k_geo=factor*k_geo;endfunctionplotDeformedShape(nodes,U,step,L)figure(2);clf;% 原始构型plot(nodes,zeros(size(nodes)),'k--','LineWidth',1);hold on;% 变形后构型n_nodes=length(nodes);deformed_x=nodes+U(1:3:end);% x方向位移deformed_y=U(2:3:end);% y方向位移plot(deformed_x,deformed_y,'b-o','LineWidth',2,'MarkerFaceColor','b');axis equal;xlim([-0.1*L,1.2*L]);ylim([-0.5*L,0.1*L]);xlabel('X 坐标 (mm)');ylabel('Y 坐标 (mm)');title(sprintf('变形形态 (载荷步 %d)',step));grid on;legend('原始形态','变形后形态','Location','best');drawnow;endfunctionplotFinalDeformation(nodes,U,L)% 原始构型plot(nodes,zeros(size(nodes)),'k--','LineWidth',1);hold on;% 变形后构型n_nodes=length(nodes);deformed_x=nodes+U(1:3:end);deformed_y=U(2:3:end);% 绘制梁的变形plot(deformed_x,deformed_y,'b-o','LineWidth',2,'MarkerFaceColor','b');% 标注最大位移[max_disp,max_idx]=max(abs(deformed_y));text(deformed_x(max_idx),deformed_y(max_idx),...sprintf(' 最大位移: %.1f mm',deformed_y(max_idx)),...'FontSize',10,'Color','r');axis equal;xlim([-0.1*L,1.2*L]);ylim([min(deformed_y)-10,10]);xlabel('X 坐标 (mm)');ylabel('Y 坐标 (mm)');title('最终变形形态');grid on;legend('原始形态','变形后形态','Location','best');end