🧠 判断题第 4 题
1、📌 题目原文
使用
math.h或cmath头文件中的函数，表达式sqrt(4)的结果类型为double。
✅ 判断结果：正确（√）
2、📖 故事讲解：
（1）🧙♂️ 数学魔法师 sqrt
在 C++ 王国里，有一位数学魔法师，名字叫：
sqrt他的任务是：
🔮开平方
（2）🧩 举个最简单的例子
sqrt(4)数学上我们知道答案是：
2但 C++ 会问一个问题：
❓“你这个 2，是整数？还是小数？”
3、🧠 关键知识点：
（1）📌sqrt的真实身份
sqrt是数学库函数，它的规则是：
👉不管你传进去的是整数还是小数
👉返回值一定是double（小数）
（2）🧪 小实验
auto x = sqrt(4);x的类型：double值是：
2.0
即使写成：
int a = sqrt(4);也是：
先得到
2.0再转换变成
2
4、🧠 记忆口诀
sqrt 爱小数，结果一定 double
🧠 判断题第 5 题
1、📌 题目原文
在杨辉三角形中，第 n 行（从 0 开始计数）的所有数字之和等于
2^n。
✅ 判断结果：正确（√）
2、📖 故事讲解：
（1）🔺 神奇的杨辉三角
杨辉三角长这样（从第 0 行开始）：
第0行： 1 第1行： 1 1 第2行： 1 2 1 第3行： 1 3 3 1（2）🧮 我们来算一算“行的和”
| 行号 n | 这一行 | 加起来 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 = 2⁰ |
| 1 | 1 + 1 | 2 = 2¹ |
| 2 | 1 + 2 + 1 | 4 = 2² |
| 3 | 1 + 3 + 3 + 1 | 8 = 2³ |
🎉完全符合！
3、🧠 算法 & 数学原理（展开）
📌 为什么一定是 2ⁿ？
杨辉三角每一行，其实是：
(a + b)^n 的展开系数而：
(a + b)^n当我们令：
a = 1, b = 1就变成：
(1 + 1)^n = 2^n4、🧠 记忆口诀
杨辉第 n 行，加起来的和，是 2的n次方
🧠 判断题第 6 题
1、📌 题目原文
使用二叉堆优化的 Dijkstra 最短路算法，在某些特殊情况下，时间复杂度不如朴素实现的。
✅ 判断结果：正确（√）
2、📖 故事讲解：
（1）🐢 与 🚀 的比赛
我们有两位选手：
🐢朴素 Dijkstra
🚀堆优化 Dijkstra
（2）大家都以为：
🚀 一定比 🐢 快，对吧？
（3）⚠️不一定！
3、🧠 先说结论
📌工具更高级 ≠ 一定更快
4、🧩 两种 Dijkstra 的对比
（1）🐢 朴素版 Dijkstra
每次用
for循环找最小时间复杂度：
O(n²)代码简单
图很稠密（边很多）时：反而稳
（2）🚀 堆优化 Dijkstra
用优先队列（小根堆）
理论复杂度：
O((n + m) log n)适合边少的图
（3）⚠️ 为什么“有时更慢”？
在下面情况中：
点数很小
或边特别多
或频繁 push / pop 堆
👉 堆操作反而成了“拖油瓶”
5、🧠 给小学生的口诀
堆是好工具，
使用也要分情况
点数小，边特多
真的就是不适合
🧠 判断题第 7 题
📌 题目原文
n 个不同元素依次入栈的出栈序列数，与将 n 个不同元素划分成若干非空子集的方案数相等。
❌ 判断结果：错误（×）
一、📖 故事讲解：
🧩 第一件事：入栈出栈
有 n 个不同小朋友，按顺序进栈：
1 → 2 → 3 → ... → n问：
👉 有多少种合法出栈顺序？
答案是一个著名的数：
🎯卡特兰数（Catalan Number）
二、🏰 主角登场：卡特兰数（Catalan Number）
1、🎒 卡特兰数的故事：书包进出游戏
（1）🎮 游戏规则
有n 个不同的小朋友，
他们按顺序排队进一个书包（栈）：
1 → 2 → 3 → ... → n规则只有两条：
1️⃣ 只能从包口进
2️⃣ 只能从包口出
（2）问：
👉有多少种“合法”的出包顺序？
2、🧠 为什么“不是随便出”？
因为这是一个栈（Stack）：
后进去的
必须先出来
📌 这就像：
叠盘子 🍽️
最上面的盘子先拿
3、🧩 例子（n = 3）
小朋友是：1、2、3
❌ 不合法的出栈顺序
进：1 2 3 出：1 3 2 ❌原因：
3 在 2 上面
不能让 2 先出来
4、✅ 合法的出栈顺序
一共5 种：
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1🎉这 5 就是卡特兰数 C₃
5、🧠 卡特兰数“管什么”？
只要你看到这些关键词：
栈进栈 / 出栈
括号是否匹配
左右孩子构成的二叉树
先做 / 后做的合法顺序
👉统统是卡特兰数在管
卡特兰数 = 合法情况的数量
6、🧠 最小的几个卡特兰数
| n | 卡特兰数 Cₙ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 5 |
| 4 | 14 |
| 5 | 42 |
🎉 这串数，就是卡特兰数列
三、🏗️ “搭积木”算卡特兰数（递推思想）
1、🧱 故事：搭一座“左右两部分的城堡”
用 n - 1 块积木 ，要搭一个左右两部分的城堡：
左边如果用 k 块（k从0开始）
右边就用 n−1−k 块
👉 左边有多少种？
👉 右边有多少种？
👉 一共有多少种？
2、🧠 思想来了
左边的可能数 × 右边的可能数
再把所有情况加起来
3、✨ 用一句话说计算方法
Cₙ = C₀×Cₙ₋₁ + C₁×Cₙ₋₂ + C₂×Cₙ₋₃ + ... + Cₙ₋₁×C₀📌 这叫：递推公式
4、🧸 参考程序：
#include <iostream> using namespace std; int main() { int N; cin >> N; // 用数组保存卡特兰数 // c[i] 表示第 i 个卡特兰数 long long c[35] = {0}; // 基础情况 c[0] = 1; c[1] = 1; // 递推计算卡特兰数 for (int n = 2; n <= N; n++) { for (int i = 0; i < n; i++) { c[n] += c[i] * c[n - 1 - i]; } } // 输出结果 cout << c[N] << endl; return 0; }四、📐 偷偷告诉你一个“数学快捷公式”
如果你能背的过，考试也可以用这个：
Cₙ = (1 / (n+1)) × 组合数(2n, n)比如：
C₃ = (1 / 4) × 20 = 5五、🏫 第二位主角：贝尔数（Bell Number）
1、🎈 贝尔数的故事：分组游戏
🎮 游戏规则
有n 个不同的小朋友，
老师要把他们：
分成若干组
每一组不能为空
不排顺序
问：
👉 一共有多少种不同的分法？
2、🧠 什么叫“不排顺序”？
下面两种：
{小红，小明} | {小刚} {小刚} | {小红，小明}👉是同一种分法！
🧩 例子（n = 3）
小朋友是：A、B、C
所有分组方法：
1️⃣{A B C}
2️⃣{A}{B C}
3️⃣{B}{A C}
4️⃣{C}{A B}
5️⃣{A}{B}{C}
🎉 一共5 种
👉 这就是贝尔数 B₃
🧠 贝尔数“管什么”？
看到这些关键词，就想到贝尔数：
分组
划分集合
不关心顺序
每组不能为空
3、🔺 计算神器登场：贝尔三角形（Bell Triangle）
这是小学生最友好的贝尔数计算方法🌟
不需要懂复杂公式！
🧱 1️⃣ 先搭一个三角形
规则只有 3 条：
规则①
第一行第一个数是 1
1规则②
每一行的第一个数 = 上一行的最后一个数
规则③
后面的数 = 左边的数 + 左上角的数
✨ 一步一步搭给你看
第 0 行
1👉 这是B₀ = 1
第 1 行
第一个数 = 上一行最后一个 = 1
1 2👉B₁ = 1
第 2 行
第一个数 = 上一行最后一个 = 2
2 3 5👉B₂ = 2
第 3 行
第一个数 = 上一行最后一个 = 5
5 7 10 15👉B₃ = 5
第 4 行
15 20 27 37 52👉B₄ = 15
4、🎉 发现规律了吗？
🌟每一行的第一个数，就是贝尔数！
5、📊 贝尔数前几项（记住这张表就赢一半）
| n | 贝尔数 Bₙ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 5 |
| 4 | 15 |
| 5 | 52 |
| 6 | 203 |
六🧠 为什么这个三角形是对的？
1、👨👩👧👦 每一行在干嘛？
一行代表：
👉“当前小朋友加入后”的所有可能变化左上角：
👉 老方案左边：
👉 新同学加入某一组的方式
2、不断累加，就把所有可能都算进来了 ✔️
七、✅ 参考程序：（贝尔三角形法）
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; cout << "请输入一个非负整数 n: "; cin >> n; if (n < 0) { cout << "n 必须是非负整数！" << endl; return 0; } // 创建一个二维数组保存贝尔三角形 vector<vector<long long>> bell(n + 1, vector<long long>(n + 1, 0)); // 初始化 bell[0][0] = 1; // B0 = 1 // 构建贝尔三角形 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 每行第一个数是上一行最后一个数 bell[i][0] = bell[i-1][i-1]; // 后面的每个数是左上角 + 左边 for (int j = 1; j <= i; j++) { bell[i][j] = bell[i-1][j-1] + bell[i][j-1]; } } cout << n << " 的贝尔数是: " << bell[n][0] << endl; return 0; }八、🧠 本题回顾（算法）
| 问题 | 对应数学 |
|---|---|
| 入栈出栈序列 | 卡特兰数 |
| 划分子集 | 贝尔数 |
👉完全不是一类数！
十、🧠 记忆口诀
栈用卡特兰，分组用贝尔数
