快速排序 - 原理、时空分析、优化

过程

快速排序分为三个过程：

将数列根据划分值m mm划分为两部分；
递归到两个子序列中分别进行快速排序；
不用合并，因为此时数列已经完全有序。

具体来说，第一步要是要把数列分成两个部分，然后保证前一个子数列中的数都小于后一个子数列中的数。对于最优情况，每一次选择的分界值都是序列的中位数。

快速排序与归并排序虽然都是划分区间，但是归并排序直接就可以选取中间位置，但快速排序需要选择的是中间数值，中间位置你是可以直接确定的，而中间数值你是无法确定的。为了保证平均时间复杂度，一般是随机选择一个数m mm来当做两个子数列的分界。

其实，快速排序没有指定应如何具体实现第一步，不论是选择m mm的过程还是划分的过程，都有不止一种实现方法。

第三步中的序列已经分别有序且第一个序列中的数都小于第二个数，所以直接拼接起来就好了。

在实现时，只需维护小于等于m mm的边界l o w lowlow，大于m mm的部分自然就唯一确定了。

朴素快速排序

publicstaticvoidquickSort(intl,intr){if(l>=r)// 只有一个数，或范围不存在return;intx=arr[l];// 固定方式选取划分值intmid=partition(l,r,x);// mid 位置已经固定// 处理剩余区间quickSort(l,mid-1);quickSort(mid+1,r);}// 划分数组 ≤x 放左边，>x 放右边publicstaticintpartition(intl,intr,intx){intlow=l,xi=0;for(inti=l;i<=r;i++){if(arr[i]<=x){swap(low,i);if(arr[low]==x)xi=low;low++;}}swap(xi,low-1);// 确保 ≤x 区域的最后一个数字是 xreturnlow-1;}

这里再贴一个 c 风格的，双指针扫描写法的 partition，常见于数据结构教材中。

intpartition(intlow,inthigh,intx){while(low<high){while(low<high&&arr[high]>=x)high--;swap(low,high);while(low<high&&arr[low]<=x)low++;swap(low,high);}returnlow;}

时间复杂度

快速排序的最优时间复杂度和平均时间复杂度为O ( n log ⁡ n ) O(n\log n)O(nlogn)，最坏时间复杂度为O ( n 2 ) O(n^2)O(n2)。

对于最优情况，每一次选择的分界值都是序列的中位数，此时算法时间复杂度满足的递推式为T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + Θ ( n ) T(n) = 2T\left( \frac{n}{2} \right)+Θ(n)T(n)=2T(2n)+Θ(n)，由主定理，T ( n ) = Θ ( n log ⁡ n ) T(n)=Θ(n\log n)T(n)=Θ(nlogn)。

对于最坏情况，每一次选择的分界值都是序列的最值，此时算法时间复杂度满足的递推式为T ( n ) = T ( n − 1 ) + Θ ( n ) T(n)=T(n-1)+Θ(n)T(n)=T(n−1)+Θ(n)，易得T ( n ) = Θ ( n 2 ) T(n)=Θ(n^2)T(n)=Θ(n2)。

对于平均情况，每一次选择的分界值可以看作是等概率随机的，设划分值在k kk位置，那么：T ( n ) = 1 n ∑ k = 1 n ( T ( k − 1 ) + T ( n − k ) ) + n = 2 n ∑ k = 1 n T ( k ) + n T(n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(T(k-1)+T(n-k))+n=\frac{2}{n}\sum_{k=1}^nT(k)+nT(n)=n1k=1∑n(T(k−1)+T(n−k))+n=n2k=1∑nT(k)+n
由数学归纳法可证明，其数量级为O ( n log ⁡ n ) O(n\log n)O(nlogn)。

在实际中，几乎不可能达到最坏情况，而快速排序的内存访问遵循局部性原理（递归处理相邻子数组、原地分区，连续访问缓存行），所以多数情况下快速排序的表现大幅优于堆排序等其他复杂度为O ( n log ⁡ n ) O(n\log n)O(nlogn)的排序算法。

就空间复杂度而言，主要是递归造成的栈空间的使用，最好情况，递归树的深度为log ⁡ 2 n \log_{2}nlog2n，其空间复杂度也就为O ( log ⁡ n ) O(\log n)O(logn)，最坏情况，需要进行n − 1 n-1n−1递归调用，其空间复杂度为O ( n ) O(n)O(n)，平均情况，空间复杂度也为O ( log ⁡ n ) O(\log n)O(logn)。

优化

当序列较短时，直接使用插入排序的效率更高；
尾递归（迭代）可以缩减堆栈深度，提高整体性能。

我们还有两条主路径去优化：划分值m mm的选取和划分的过程。

划分值m mm

如果你用朴素方法中的固定方式选取划分值m mm，比如总选数列第一个或最后一个元素，毒瘤数据能够把朴素的快速排序卡成O ( n 2 ) O(n^2)O(n2)，比如升序或降序数列。

通过三数取中，即选取第一个、最后一个以及中间的元素中的中位数。
- 对于非常大的待排序的数列，也有九数取中，不再详述。
通过随机选取，即随机选一个[ l , r ] [l,r][l,r]上的下标对应的值。虽然随机的常数时间比较大，但只有这一下随机，才能在概率上把快速排序的时间复杂度收敛到O ( n log ⁡ n ) O(n\log n)O(nlogn)。

划分过程

朴素方法中，每次划分的过程都只能确定一个位置的值，即p a r t i t i o n partitionpartition返回的位置。

三路快速排序

是快速排序和基数排序的混合。思想基于荷兰国旗问题。

每次划分过程，将待排数列划分为三个部分：小于m mm、等于m mm以及大于m mm。在处理含有多个重复值的数组时，效率远高于朴素快速排序。其最佳时间复杂度为O ( n ) O(n)O(n)。

在实现时，只需维护小于m mm的边界，和大于m mm的边界，等于的部分自然就唯一确定了。

荷兰国旗优化版随机快速排序

publicstaticintfirst,last;publicstaticvoidquickSort(intl,intr){if(l>=r)return;// [l, r+1) -> l + [0, r-l+1)intx=arr[l+(int)(Math.random()*(r-l+1))];partition(l,r,x);intleft=first;intright=last;// 记录一下 lastquickSort(l,left-1);// 经过左半边快排，last 可能被更改quickSort(right+1,r);}publicstaticvoidpartition(intl,intr,intx){first=l;last=r;inti=l;while(l<=last){if(arr[i]==x)i++;elseif(arr[i]<x)swap(first++,i++);elseswap(last--,i);}}