本文详细介绍了Multi-LoRA（低秩适配）技术，通过低秩分解原理降低大模型微调的参数量和计算成本。文章从低秩分解的数学原理出发，结合MNIST手写体识别案例，展示了LoRA在模型微调中的应用实践，并分析了其优缺点。Multi-LoRA能够在保持模型性能的同时，显著减少训练资源需求，适用于多场景的大模型部署。

1 、基本原理

1.1 问题与方案

为了让大模型在细分领域要取得更好的效果，会用领域数据进行微调训练，且微调模型时期望用少量的训练步骤完成对权重的更新。微调一个大模型要有匹配的硬件资源和足够的训练时间。对于动辄百亿参数的大模型而言，可能出现如下问题：

• 硬件资源无法支持起基础模型的训练。如显存不足、算力太低（训练时间过长）；
• 训练不收敛或者效果不佳；
• 大模型的通用能力可能下降。

既然大模型的全量调参成本高，是否能仅微调部分达到全量微调的效果？这个问题已有不少的研究，如：

• 适配器(Adapter[3])：一种在模型中插入新层的方式，仅训练插入的适配器；

• 前缀调优（Prefix Tuning[4]）：给Attention KV层中添加一个前缀，并只训练这个附加的前缀参数；类似的还有提示词调优（Prompt Tuning[5]）；

• 局部训练：仅训练Transformer 的 LayerNorm参数[6]，或者仅训练 Bias ( BitFit[7])；

• 低秩适配（LoRA）：给模型增加降秩权重，且仅训练该新增的权重；

当然这些方法也可以混合使用[8]。

参数高效迁移学习 (PETL，parameter-efficient transfer learning)

上述迁移学习的方式各有特点，此处不展开讨论，主要聚焦LoRA方法的相关内容。

1.2 低秩分解的原理

LoRA原理涉及的关键知识：任意矩阵都能进行奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）；当矩阵是不满秩矩阵（Rank-deficient Matrix）时，可以用低秩的分解矩阵来代替原矩阵。

具体展开说明。对于一般矩阵通过SVD计算能够得到三个子矩阵，公式如下：

其中,矩阵的秩数满足：

是一个对角矩阵，对角上非零元素个数等于秩数，当W为不满秩矩阵时，

，，

这里举个3x2矩阵分解的例子，如下图所示，将矩阵W进行SVD处理，得到分解矩阵。其中3x2的对角矩阵最后一行必为0，所以可以简化表达；进一步若还存在‘0’的对角元素，可以进一步简化。简化后的分解矩阵乘积依然等于原矩阵。

优势：当矩阵的尺寸（m,n）较大时，分解矩阵的特点是元素个数相比原矩阵的更少，r越小元素越少。比如当r=1，m=n=1000时，原矩阵元素个数为1000,000，分解矩阵元素总数为2001，比值小于0.5%。参数量少带来好处是：计算量少、存储量少。

1.3 低秩分解的代码实践

这里我们通过一个简单的乘法示例来验证分解矩阵的特点。先创建一个非满秩的矩阵W并进行SVD计算，接着建立B、A矩阵，最后定义一个乘加运算，对比原矩阵与分解矩阵的计算差异。

• step1：创建一个非满秩矩阵

import torch import numpy as np d, k = 10, 10 # 创建一个非满秩矩阵(a rank-deficient matrix) W_rank = 2 W = torch.randn(d,W_rank) @ torch.randn(W_rank,k) W_rank = np.linalg.matrix_rank(W)

打印相关结果：

• step2：进行SVD分解，构建B、A矩阵。

# 对W进行SVD处理：(W = UxSxV^T) U, S, V = torch.svd(W) # 对于对角矩阵S保留前rank个数据即可，相应的U和V也只要保存前rank行的数据。 U_r = U[:, :W_rank] S_r = torch.diag(S[:W_rank]) V_r = V[:, :W_rank].t() # 定义： B = U_r * S_r；A = V_r B = U_r @ S_r A = V_r

打印相关参数：

• step3：构建一个线性层，对比计算差异：

# 创建一个线性运算的输入， y = Wx + b bias = torch.randn(d) x = torch.randn(d) # 原始计算 y = Wx + bias y = W @ x + bias # 分解矩阵计算 y' = (B*A)x + bias y_prime = (B @ A) @ x + bias print(f"The result is allclose: {torch.allclose(y, y_prime)}")

可以看到打印输出为True，该例中W的元素个数为100，B和A的元素总数为40。

低秩分解降低了元素总数，且不改变计算结果；如果分解运算为一次运算，则在算量上面也更少。

2、 LoRA

2.1 计算公式

LoRA正是用低秩分解矩阵的特点来降低微调矩阵的元素个数，原矩阵为[9]：

其中

微调时
冻结（不参与训练）、仅微调分解矩阵 A和B ，因为，所以需要训练的参数相比直接训练原矩阵少很多。

2.2 LoRA训练/推理实践

一个数字0~9手写体识别训练场景，数据采用MNIST。训练一个3层的MLP，让其具备数字手写体识别的能力。为了体现LoRA的作用，需要对数据集进行处理，先全量训练，再增加LoRA微调。大致步骤如下：

• step1：构建主模型并训练，训练数据集去掉数字‘1’；

• step2：测试主模型的识别能力；

• step3：创建LoRA层；

• step4：主模型的参数冻结，用数字‘1’的数据进行微调；

• step5：测试LoRA模型，观测数据‘1’识别度差异。

构建一个简单的模型：

# 创建一个全连接的网络用于手写体识别： class MLP(nn.Module): def __init__(self, hidden_size_1=1000, hidden_size_2=2000): super(MLP,self).__init__() self.linear1 = nn.Linear(28*28, hidden_size_1) self.linear2 = nn.Linear(hidden_size_1, hidden_size_2) self.linear3 = nn.Linear(hidden_size_2, 10) self.relu = nn.ReLU() def forward(self, img): x = img.view(-1, 28*28) x = self.relu(self.linear1(x)) x = self.relu(self.linear2(x)) x = self.linear3(x) return x net = MLP().to(device)

模型结构

接着定义模型的训练函数、测试函数：

# 训练函数定义： def train(train_loader, net, epochs=5, total_iterations_limit=None): cross_el = nn.CrossEntropyLoss() optimizer = torch.optim.Adam(net.parameters(), lr=0.001) total_iterations = 0 for epoch in range(epochs): net.train() loss_sum = 0 num_iterations = 0 data_iterator = tqdm(train_loader, desc=f'Epoch {epoch+1}') if total_iterations_limit is not None: data_iterator.total = total_iterations_limit for data in data_iterator: num_iterations += 1 total_iterations += 1 x, y = data x = x.to(device) y = y.to(device) optimizer.zero_grad() output = net(x.view(-1, 28*28)) loss = cross_el(output, y) loss_sum += loss.item() avg_loss = loss_sum / num_iterations data_iterator.set_postfix(loss=avg_loss) loss.backward() optimizer.step() if total_iterations_limit is not None and total_iterations >= total_iterations_limit: return # 测试函数定义： def test(model=net): correct = 0 total = 0 wrong_counts = [0 for i in range(10)] with torch.no_grad(): for data in tqdm(test_loader, desc='Testing'): x, y = data x = x.to(device) y = y.to(device) output = model(x.view(-1, 784)) for idx, i in enumerate(output): if torch.argmax(i) == y[idx]: correct +=1 else: wrong_counts[y[idx]] +=1 total +=1 result_str = "" for i in range(len(wrong_counts)): result_str += f'The wrong counts of digit {i}: {wrong_counts[i]}\n' print(f'\nAccuracy: {round(correct/total, 3)}\n{result_str}')

• step1：构建主模型并训练，训练数据集去掉数字‘1’。

# 下载MNIST手写体数字识别的数据 transform = transforms.Compose([transforms.ToTensor(), transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))]) # 加载手写体数据： mnist_trainset = datasets.MNIST(root='./data', train=True, download=True, transform=transform) # 训练集 train_loader = torch.utils.data.DataLoader(mnist_trainset, batch_size=10, shuffle=True) mnist_testset = datasets.MNIST(root='./data', train=False, download=True, transform=transform) # 测试集 # 去掉数字‘1'的数据，模型对‘1'的识别率存在问题 exclude_indices = torch.tensor([False if x == 1 else True for x in mnist_trainset.targets]) mnist_trainset.data = mnist_trainset.data[exclude_indices] mnist_trainset.targets = mnist_trainset.targets[exclude_indices] # 训练模型：

• step2：测试主模型的识别能力。

test_loader = torch.utils.data.DataLoader(mnist_testset, batch_size=10, shuffle=True) test()

可以看到，数字‘1’在测试集上表现不佳。

• step3：创建LoRA层

# 定义LoRA对权重修改： class LoRAParametrization(nn.Module): def __init__(self, features_in, features_out, rank=1, alpha=1, device='cpu'): super().__init__() # 低秩矩阵的定义： self.lora_A = nn.Parameter(torch.zeros((rank,features_out)).to(device)) self.lora_B = nn.Parameter(torch.zeros((features_in, rank)).to(device)) nn.init.normal_(self.lora_A, mean=0, std=1) # 参考论文：https://arxiv.org/pdf/2106.09685 4.1节 设置一个比例系数： self.scale = alpha / rank # LoRA开关： self.enabled = True def forward(self, original_weights): if self.enabled: # Return W + (B*A)*scale return original_weights + torch.matmul(self.lora_B, self.lora_A).view(original_weights.shape) * self.scale else: return original_weights

将LoRA层注册到模型中：

def linear_layer_parameterization(layer, device, rank=1, lora_alpha=1): # LoRA仅修改W，忽略bias修改。 features_in, features_out = layer.weight.shape return LoRAParametrization( features_in, features_out, rank=rank, alpha=lora_alpha, device=device ) # 保存一份原始权重数据，用于后续校验 original_weights = {} for name, param in net.named_parameters(): original_weights[name] = param.clone().detach() # 注册LoRA权重到原始层中： parametrize.register_parametrization( net.linear1, "weight", linear_layer_parameterization(net.linear1, device) ) parametrize.register_parametrization( net.linear2, "weight", linear_layer_parameterization(net.linear2, device) ) parametrize.register_parametrization( net.linear3, "weight", linear_layer_parameterization(net.linear3, device) ) # 定义LoRA开关函数： def enable_disable_lora(enabled=True): for layer in [net.linear1, net.linear2, net.linear3]: layer.parametrizations["weight"][0].enabled = enabled

打印原始参数和添加LoRA参数的对比，LoRA占比仅0.242%。

• step4：用数字‘1’数据微调；

# 将原始权重冻结： for name, param in net.named_parameters(): if 'lora' not in name: print(f'Freezing non-LoRA parameter {name}') param.requires_grad = False # 过滤数据，仅保留‘1'的数据： mnist_trainset = datasets.MNIST(root='./data', train=True, download=True, transform=transform) exclude_indices = torch.tensor([True if x == 1 else False for x in mnist_trainset.targets]) mnist_trainset.data = mnist_trainset.data[exclude_indices] mnist_trainset.targets = mnist_trainset.targets[exclude_indices] train_loader = torch.utils.data.DataLoader(mnist_trainset, batch_size=10, shuffle=True) # 用数据‘1'训练带有LoRA的模型： train(train_loader, net, epochs=1, total_iterations_limit=100)

• step5：测试LoRA模型，观测数据‘1’识别度差异。

# 测试有LoRA的情况: enable_disable_lora(enabled=True) test()

打印正确率，找到数字‘1’的错误个数，相比原模型明显降低了。

与原始模型的测试输出的正确率进行一个对比，除了数字‘1’以外其它数字的识别精度均下降。

LoRA特点小结

优点：

• LoRA采用了横向扩展参数的方式，训练时原模型参数冻结、仅微调扩展参数，扩展参数采用低秩矩阵，保证了较低的参数量。

• 实践证明了LoRA的有效性，甚至能让小模型微调能达到大模型的水平[10]。

• LoRA的适配方式能够保证各个垂直领域解耦训练，互不干扰。

不足：

• 分解矩阵B、A的秩小于原矩阵W，表达能力弱，导致LoRA的效果可能弱于全量微调；
• 当主模型参数量比较大且r取值不能太小时，LoRA训练成本依然很高。

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