[数字信号处理-入门] 时域分析

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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码

参考文章：各方资料

常用序列

δ ( n ) , u ( n ) , R N ( n ) , a n u ( n ) , e ( σ + j ω 0 ) n , A s i n ( ω 0 n + φ ) \delta(n), u(n), R_N(n), a^n u(n), e^{(\sigma+j\omega_0)n}, Asin(\omega_0 n + \varphi)δ(n),u(n),RN​(n),anu(n),e(σ+jω0​)n,Asin(ω0​n+φ)

1.δ ( n ) \delta(n)δ(n)的抽样性质

x ( m ) δ ( n − m ) = { x ( n ) , n = m 0 , e l s e x(m)\delta(n-m)= \begin{cases} x(n),\quad n=m \\ 0,\quad else \end{cases}x(m)δ(n−m)={x(n),n=m0,else​

2.A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi)Asin(ω0​n+φ)的频率

• 模拟频率f ff: 单位H z HzHz
• 模拟角频率Ω \OmegaΩ: 单位r a d / s rad/srad/s
• 采样频率f s f_sfs​: 单位H z HzHz
  采样间隔T TT:T = 1 / f s T=1/f_sT=1/fs​

-> 数字频率ω \omegaω: 单位r a d radrad
ω = Ω ⋅ T = 2 π f f s \omega = \Omega \cdot T=2\pi\frac{ f}{f_s}ω=Ω⋅T=2πfs​f​

3.A s i n ( ω 0 n + φ ) Asin(\omega_0 n + \varphi)Asin(ω0​n+φ)是否为周期序列

2 π ω 0 = { 整数 , K=1即可 有理数 , K为让其变为整数的最小数 \frac{2\pi}{\omega_0}= \begin{cases} \text{整数},\quad \text{K=1即可} \\ \text{有理数},\quad \text{K为让其变为整数的最小数} \end{cases}ω0​2π​={整数,K=1即可有理数,K为让其变为整数的最小数​

-> 周期N = 2 π ω 0 K N=\frac{2\pi}{\omega_0}KN=ω0​2π​K

4. 卷积

z ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( m ) y ( n − m ) \begin{align} z(n)&=x(n)*y(n) \\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(m)y(n-m) \end{align}z(n)​=x(n)∗y(n)=n=−∞∑∞​x(m)y(n−m)​​

系统

1. 线性/叠加性

T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a y 1 ( n ) + b y 2 ( n ) T[ax_1(n)+bx_2(n)]=ay_1(n)+by_2(n)T[ax1​(n)+bx2​(n)]=ay1​(n)+by2​(n)

线性系统满足叠加定理, 零输入一定产生零输出(没有初始储能)
->系统是线性方程, 但不代表是线性系统, 因其零输入响应不为零

2. 时不变性

T [ x ( n − k ) ] = y ( n − k ) T[x(n-k)]=y(n-k)T[x(n−k)]=y(n−k)

若有一个移变的增益->时变系统
y ( n ) = n x ( n ) y(n)=\mathbf{n}x(n)y(n)=nx(n),y ( n ) = s i n ( 2 π n 9 ) x ( n ) y(n)=\mathbf{sin(\frac{2\pi n}{9})}x(n)y(n)=sin(92πn​)x(n)

若在时间轴(n)上有任何压缩or扩展 -> 时变系统
y ( n ) = x ( M n ) y(n)=x(\mathbf{M}n)y(n)=x(Mn),y ( n ) = x ( n / I ) y(n)=x(n/\mathbf{I})y(n)=x(n/I)

3. 因果性

输出不发生在输入之前

4. 稳定性

有界输入产生有界输出

LTI系统的h ( n ) h(n)h(n)

h ( n ) = T [ δ ( n ) ] h(n)=T[\delta(n)]h(n)=T[δ(n)]

• 因果性:h ( n ) h(n)h(n)是因果序列
• 稳定性:h ( n ) h(n)h(n)绝对可和

LTI系统的H ( z ) H(z)H(z)

X ( z ) = Z T [ x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\mathrm{ZT}[x(n)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}X(z)=ZT[x(n)]=n=−∞∑∞​x(n)z−n

• 因果性: 收敛域在某个圆的外面

• 稳定性: 单位圆在收敛域里面

  -> 因果稳定性: 收敛域在R<1的圆的外面

时域采样

奈奎斯特抽样定理:
f s > 2 f h f_s>2f_hfs​>2fh​