2021hychs 一试模拟题

\[\huge {{\text{2021hych's} 一试模拟题}} \]

注意事项：

\(\hspace{0.5cm}\)1. 本试卷共 \(11\) 题，包括 \(8\) 道填空题和 \(3\) 道解答题。

\(\hspace{0.5cm}\)2. 填空题每题 \(8\) 分，解答题分值分别为 \(16\) 分、\(20\) 分、\(20\) 分。

\(\hspace{0.5cm}\)3. 填空题答案直接填写在横线上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

\(\hspace{0.5cm}\)4. 考试期间不得使用任何计算器或电子设备。

一、填空题

1. 已知数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=1,a_2=2\) 且对于任意正整数 \(n\)，\(a_{2n-1},a_{2n},a_{2n+1}\) 构成等比数列，\(a_{2n},a_{2n+1},a_{2n+2}\) 构成等差数列，则 \(a_{2026}=\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
2. 实数 \(\lambda\) 满足：对于任意模长为 \(2\) 的复数 \(z\)，都有 \(\left\vert z^2+z+4\right\vert \le \lambda \left\vert z^2-8iz-4\right\vert\) 则实数 \(\lambda\) 的最小值为\(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
3. 正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 的边长为 \(2\)，在面 \(ABCD\)，面 \(A_1B_1C_1D_1\)，面 \(ABB_1A_1\)，面 \(CDD_1C_1\)，面 \(ADD_1A_1\)，面 \(CBB_1C_1\) 中各取一个点（包括边界）\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)、\(J\)。设线段 \(EF\)、\(GH\)、\(IJ\) 的中点分别为 \(R\)、\(S\)、\(T\)。若 \(R\)、\(S\)、\(T\) 三点可构成三角形，则 \(S_{\Delta RST}\) 的最大值为 \(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
4. 若椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 与曲线 \(y=e^x\) 相切，则 \(ab\) 的最大值为\(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
5. 集合 \(A=\{\sin \theta,\cos \theta\}\)，集合 \(B=\{\sin 2\theta,\cos 2\theta\}\)，其中 \(\theta \in \left[0,\pi\right]\)。若 \(A\bigcap B \neq \varnothing\)，则 \(\theta\) 的所有可能取值的和为\(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
6. 正三角形 \(ABC\) 中，点 \(D\) 为线段 \(BC\) 的中点，点 \(E\)、\(F\) 分别为线段 \(AB\)、\(AC\) 上的点（不包括端点），满足 \(\angle EDF=60^\circ\)。设直线 \(EF\) 与 \(BC\) 交于点 \(G\)。则 \(\dfrac{S_{\Delta AEF}}{\min\{S_{\Delta BEG},S_{\Delta CFG}\}}\) 的取值范围为\(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
7. 平面中，向量 \(\bm{a},\bm{b},\bm{c}\) 满足：\(\left\vert \bm{a}\right\vert =3,\left\vert\bm{b}\right\vert =\sqrt{2},(\bm{c}-\bm{a})(\bm{c}-\bm{b})=0,\left\vert\bm{c}-\bm{a}\right\vert=\left\vert \bm{c}-\bm{b}\right\vert\) 则 \(\left\vert \bm{c}-\dfrac{1}{2}\bm{a}\right\vert+\left\vert \bm{c}-\dfrac{1}{2}\bm{b}\right\vert\) 的最大值为 \(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。
8. 小 \(\text{H}\) 正在玩一个名为“数字炸弹”的游戏。游戏将进行若干轮，每次小 \(\text{H}\) 将对一个二元组进行操作。一开始，小 \(\text{H}\) 要对 \((1,7)\) 操作。设小 \(\text{H}\) 当前将对 \((l,r)\) 操作，定义小 \(\text{H}\) 的一次操作为等概率抽取 \(l \sim r\) 共 \(r-l+1\) 个数中的一个数 \(x\)。若 \(x=4\)，游戏结束；若 \(x<4\)，二元组变为 \((x+1,r)\)；若 \(x>4\)，二元组变为 \((l,x-1)\)。一次操作结束后，若二元组的两个数相等，游戏结束，否则小 \(\text{H}\) 继续操作。则小 \(\text{H}\) 操作次数的数学期望为\(\rule[-3pt]{1.5cm}{0.05em}\) 。

二、解答题

9. 数列 \(\{a_n\}\) 满足：\(a_1=1,a_2=9,a_{n+2}-a_{n+1}-2a_{n}=6\cdot2^n(n \in \mathbb N^*)\)。求 \(\{a_n\}\) 的通项公式。

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10. 抛物线 \(C:y^2=2px(p>0)\) 中有一定凸四边形 \(ABCD\)，其中 \(A,B,C,D\) 四个点均在 \(C\) 上，\(A,B\) 在 \(x\) 上方，\(C,D\) 在 \(x\) 轴下方。\(P\) 为 \(C\) 上一动点，满足 \(P\) 在直线 \(AB\) 上方，\(PD,PC\) 分别与 \(AB\) 交于点 \(E,F\)。求证： \(\dfrac{\left\vert AF\right\vert\cdot\left\vert BE\right\vert}{\left\vert EF\right\vert}\) 为定值。

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11. 复数集 \(A=\left\{e^{i\theta}|\theta \in \left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right]\right\}\) 内有 \(n\) 个复数 \(z_1,z_2,\dots,z_n(n\ge 2)\)。若有：对于任意正整数 \(i,j\)，其中 \(1\le i<j\le n\)，都有 \(z_iz_j \in A\)。求：

\[S=(n-1)\sum\limits_{i=1}^n \left\vert z_i^2+1\right\vert-\sum\limits_{1\le i<j\le n} \left\vert z_i+1\right\vert\left\vert z_j+1\right\vert \]

的最大可能值和最小可能值。

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