离散时间量子行走：原理、特性与计算方法

1. 随机演化与量子演化的区别

在特定情况下，我们虽知道只有一种可能性会实际发生，但仍会用矩阵结构来描述随机演化。随机演化的矩阵结构将用于描述量子演化。不过，从物理层面看，量子情况与实际随机过程有明显不同，在量子情形下，说只有一种可能性发生是不正确的。从数学角度，也有根本变化，演化矩阵不直接作用于概率分布，矩阵元素也不必是正实数，在量子情况中，矩阵元素可以是负数或复数，且演化矩阵作用于概率振幅向量。

以下是相关的练习题：
-练习3.4：目的是得到表达式(3.8)。通过检查完全图的随机矩阵，证明$p_2(t) = p_3(t) = \cdots = p_n(t)$且$p_1(t + 1) = p_2(t)$。考虑到概率向量元素之和为1，证明$p_2(t)$满足递归方程$p_2(t) = \frac{1 - p_2(t - 1)}{n - 1}$。利用$p_2(0) = 0$求解递归方程，并证明$p_2(t)$由$f_n(t)$给出，如(3.9)所示。
-练习3.5：用函数$f_n(t)$表示$M^t$，其中$M$是完全图的随机矩阵。从$M^t$的表达式证明$E_p(t)$满足(3.8)。
-练习3.6：考虑一个有$n$个顶点的循环图，初始条件是行走者位于其中一个顶点。求出该图的随机矩阵，描述前几步的概率分布并与图3.1中的值进行比较。求出一般时间的分布，并找出奇数循环的极限分布。（提示：求循环图的分布时，使用直线的概率分布。）
-练习3.7：设$M$是一个通