【题解】Luogu P6092 [CEOI2012] 工作规划

news/2026/1/14 5:42:30/文章来源:https://www.cnblogs.com/Seqfrel/p/19343910

题目大意

有 \(n\) 天 \(m\) 个任务，每个任务需要一台机器用一天时间完成，每个任务最多推迟 \(d\) 天完成。给定 \(m\) 个任务提交的时间，求最少需要几台机器才能满足所有任务。

解题思路

解决此题，需要想清楚两个性质：

性质一：所需机器数量是单调的

这个性质不难理解，如果 \(x\) 台机器能完成任务，那么 \(x+1\) 台机器也能完成任务。

这个性质是优化此题解法的基础，我们可以使用二分答案在 \(O(\log m)\) 的时间复杂度内快速找到最少需要的机器数量。我们二分机器数量 \(x\)，如果 \(x\) 台机器能够完成任务就减少一些机器，否则就增加一些机器，最终找到最少所需的机器数量。

性质二：任务完成的顺序不重要

这个性质就比较抽象了。

具体来说是这样的，我们统计每一天提交的任务数量，利用贪心的思想，遍历每一天，把每一天能完成的任务尽可能完成（也就是完成最多 \(x\) 个任务），然后把剩余任务堆积到下一天。如果下一天的任务总量比 \(d\) 天能完成的任务总量还要大，那么就不可能完成任务了。

原理是这样的，因为每个任务必须在 \(d\) 天内完成，那么第 \(i\) 天的最大可接受任务数量就是 \(x \times d\)，也就是所有机器全力干 \(d\) 天。如果在每次都完成最先提交的任务的情况下，第 \(i-d\) 天往前的任务依然囤积到了第 \(i\) 天，就会导致第 \(i\) 天的任务数量超过 \(x \times d\) 这个值。

这一块比较难理解，可以画图仔细想一想。

这个性质可以使代码简化，因为如果按题意模拟的话需要用到小根堆等数据结构。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=1e6+10;
int n,m,d;
int s[maxm],t[maxn];
bool check(int mid){//利用性质二判断能否完成。 int tsk=0;for(int i=1;i<=n;i++){tsk=max(tsk+t[i]-mid,0);if(tsk>mid*d) return 0;}return 1;
}
int bfind(){//最小值二分答案。 int l=1,r=maxm,mid;while(l<r){mid=(l+r)/2;if(check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}return l;
}
int main(){scanf("%d%d%d",&n,&d,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&s[i]);t[s[i]]++;//桶数组记录数量。 }printf("%d\n",bfind());return 0;
}

总时间复杂度 \(O(n \log m)\)。