【题解】Luogu P5322 [BJOI2019] 排兵布阵

思路

考虑转化为背包问题。将每个玩家视为一组物品，每个城堡的出兵视为一个物品，因为如果要占领该城堡，就要出严格大于对手两倍的兵，所以每个物品的重量为 \(2\times a_i+1\)，每个物品的价值为城堡编号。这样题目就转化为了分组背包问题。

但此题不同组的物品并不是相互独立的，如果选取了重量为 \(j\) 第 \(i\) 个物品，其他组重量小于 \(j\) 的第 \(i\) 个物品也同样可以选取。这启示我们从小到大预处理每个物品在不同组的重量。这样我们就能把物品合并，如果 \(j\) 是第 \(i\) 个物品中第 \(k\) 小的重量，那么比 \(j\) 重量小的物品就可以一并被取到，物品可合并为重量为 \(j\)、价值为 \(i\times k\) 的物品。把不同玩家的物品合并，组就变成了城市。

预处理，对每个城堡所有人的出兵进行排序，在背包时枚举 \(k\) 意为前 \(k\) 小即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
const int M=20010;
int s,n,m,ans;
int num[N][N],f[M];
//num_i,j:第i城堡，第j大出兵
//f_i,j:第i城堡，已出j兵
int main(){scanf("%d%d%d",&s,&n,&m);for(int i=1;i<=s;i++){for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&num[j][i]);}for(int i=1;i<=n;i++) sort(num[i]+1,num[i]+1+s);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=0;j--){for(int k=1;k<=s;k++){if(j>num[i][k]*2) f[j]=max(f[j-(num[i][k]*2+1)]+i*k,f[j]);}}}for(int i=0;i<=m;i++) ans=max(ans,f[i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}

时间复杂度 \(O(nms)\)。