【题解】Luogu P2354 [NOI2014] 随机数生成器

题意

题面花里胡哨。直接看到棋盘那一段，告诉我们 \(K=N\times M\)，也就是按给定递推式算出前 \(N\times M\) 项，按规定交换 \(1\sim K\) 的递增序列，最后再按顺序填入 \(N \times M\) 的数表。在上面找排序后字典序最小的路径序列。

思路

前半部分直接模拟。

重点在于寻找最优路径。排序后字典序最小，意味着路径中每一个数都要尽可能小。考虑贪心，在整个数表中找还未选过且能构成路径的最小的数。能构成路径的数，即该数一定在所有已选数的左上或右下。易得同时满足条件的数一定不超过 \(N+M-1\) 个。因为起点在所有数的左上，终点在所有数的右下，在这条法则下，起终点一定能被选到。

预处理出每个数在数表中的位置，从小到大遍历。用 \(L\) 和 \(R\) 数组记录每一行还能选的数的区间。如果该数在区间内，则直接输出，并更新每一行的区间。直到选择了 \(N-M+1\) 个数后退出。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2.5e7+10;
long long a,b,c,d;
int n,m,q,tot;
int t[maxn],x[maxn];
int l[5010],r[5010];
int main(){scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x[0],&a,&b,&c,&d);scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);//模拟 for(int i=1;i<=n*m;i++){t[i]=i;x[i]=(a*x[i-1]*x[i-1]%d+b*x[i-1]%d+c)%d;}for(int i=1;i<=n*m;i++) swap(t[i],t[(x[i]%i)+1]);for(int i=1;i<=q;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);swap(t[u],t[v]); }//预处理 for(int i=1;i<=n*m;i++) x[t[i]]=i;for(int i=1;i<=n;i++) l[i]=1,r[i]=m;//贪心 for(int i=1;i<=n*m;i++){int tx,ty;if(x[i]%m) tx=x[i]/m+1;//计算该数的行和列 else tx=x[i]/m;ty=x[i]%m;if(!ty) ty=m;if(ty>=l[tx]&&ty<=r[tx]){//如果在区间内 printf("%d ",i);if(++tot==n+m-1) return 0;//选择完成 for(int j=1;j<=n;j++){//更新区间 if(j<tx) r[j]=min(r[j],ty);//右上角不能选，但不能覆盖之前已剔除的区间 else if(j>tx) l[j]=max(l[j],ty);//左下角不能选，但不能覆盖之前已剔除的区间 }}}return 0;
} 

细节

空间限制仅 250MB，而 \(N\times M\) 高达 \(2.5\times 10^7\)，一个 int 数组接近 100MB，最多开两个。而 \(x\) 数组计算完后不再使用，需再次利用，作为预处理位置的数组。

但计算递推式时仍需开 long long。