【笔记】Manacher

Luogu P3805 【模板】manacher

解决问题：字符串中最长回文子串。

解决方法：求出字符串中每个字符作为回文串中心时最长回文串长度。

朴素做法，对于每个字符向后枚举比较，时间复杂度 \(O(n^2)\)。

Manacher 算法提供一种优化策略，使得相同的回文串不被重复计算，时间复杂度可达 \(O(n)\)。

思想：

偶数长度的回文串，其中心在两个字符之间，因此我们可以在两两字符之间插入一个标识符，使得原串中所有回文串长都是奇数，方便对每个字符进行操作；同时在边界放上未在串和标识符中出现的字符，回文串判断到边界时一定不相等，自动退出。

对于一个当前已求出的回文串，其两侧对称，则若单看该回文串中的字符，两侧每个字符作回文中心的最长回文串长也相同。所以这部分可以不用重复计算，直接赋值即可。之后再去考虑回文串外的相等情况，延伸以该字符做中心的回文串。

维护一个数组 \(len\)，\(len_i\) 表示以当前字符作为回文中心的最长回文串长度，再维护两个变量 \(mid\) 和 \(r\)，表示当前右边界最靠右的回文串中心和右边界。对于一个字符，如果其在右边界内，则其作回文中心的最长回文串长至少为与其对称字符的值。然后再去往右判断，延伸其串长。延伸后用更右的边界更新 \(mid\) 和 \(r\)。

答案需要 \(-1\)，因为中间有插板。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1.1e7+10;
int n,tot=1;
int len[N*2];
char c[N],s[N*2];
int main(){scanf("%d",&n);scanf("%s",c+1);s[0]='^';s[1]='#';for(int i=1;i<=n;i++){s[++tot]=c[i];s[++tot]='#';}int mid=0,r=0,ans=0;for(int i=1;i<=tot;i++){if(i<=r) len[i]=min(len[2*mid-i],r-i+1);while(s[i-len[i]]==s[i+len[i]]) len[i]++;if(len[i]+i-1>r){r=len[i]+i-1;mid=i;}ans=max(ans,len[i]);}printf("%d\n",ans-1);return 0;
}

时间复杂度的证明：如果串长不到右边界 \(r\)，则 while 循环不会执行。因此 while 循环最多执行 \(tot\) 遍，仍为线性复杂度。