APC001F

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给定一棵树，边有边权 \(a_i\)，每次可以操做一条路径，使得这条路径上每条边的边权异或上某个 \(x\)，问至少需要操作几次才能使所有 \(a_i\) 变成 \(0\)？

\(n \le 10^5, a_i \le 15\)

对于这种路径异或问题（其他的可能也适用），有一个经典套路：令 \(b_u\) 表示 \(u\) 连接的边的边权异或和，那么一条 \(u - v\) 的路径操作姓党相当于 \(b_u \oplus = x, b_v \oplus = x\)。

那么相当于现在有 \(n\) 个数，每次可以让两个数同时异或 \(x\)，要使所有数都变成 \(0\) 的最少方案数。

凭借直觉，若 \(b_i = b_j\)，肯定直接消掉就行了（花一次操作消掉两个数）。所以剩下的数最多出现一次（总共只有至多 \(16\) 个数。）

对于一个异或和为 \(0\) 的集合 \(S\)，可以通过 \(|S| - 1\) 次操作把集合内的元素消成 \(0\)，于是只需要最大化拆分的集合数量即可。

剩下的就可以状压了，令 \(dp(x)\) 表示现在还有哪些数没消掉，枚举一个异或和为 \(0\) 的子集消掉即可。

时间复杂度：\(O(3^{16} + n)\)。

优化

其实这个转移是可以优化的。

不难发现，每次转移到的状态的异或和都是 \(0\)。于是我们可以一个一个的消，如果 \(x\) 对应的异或和为 \(0\)，就给 \(dp(x) + 1\)，表示需要耗费一次操作。

for (int x = (1 << n) - 1; x; x--) {dp[x] = INF;int s = 0;for (int u = 0; u < 16; u++) {if ((x >> u) & 1) {s ^= u;dp[x] = min(dp[x], dp[x ^ (1 << u)]);}}dp[x] += (s == 0);
}

时间复杂度：\(O(162^{16} + n)\)