济南seo整站优化招商电话,网站建设 计划书,青岛网站建设迅优,惠州网站建设怎么样一、背景知识#xff1a;点乘、叉乘复数的点乘#xff1a;(aibjck)•(xiyjzk)-(axbycz)复数的叉乘#xff1a;(aibjck)(xiyjzk)(ax)ii(ay)ij(az)ik(bx)ji(by)jj(bz)jk(cx)ki(cy)kj(cz)kkijk三轴定义如上图所示。满足右手螺旋定则#xff1a;(这个不是太明白#xff0c;但是…一、背景知识点乘、叉乘复数的点乘(aibjck)•(xiyjzk)-(axbycz)复数的叉乘(aibjck)×(xiyjzk)(ax)i×i(ay)i×j(az)i×k(bx)j×i(by)j×j(bz)j×k(cx)k×i(cy)k×j(cz)k×kijk三轴定义如上图所示。满足右手螺旋定则(这个不是太明白但是用的时候确实是这么计算的)二、二维复数表示旋转二维复数可以表示二维平面上的旋转。如定义待旋转的复数p2i定义旋转因子qcos45isin45则如下图所示旋转因子q左乘被旋转复数p表示p逆时针转45°。三、为什么三维旋转用四维复数表示而不用三维复数原贴见https://blog.csdn.net/u011760195/article/details/85346704若用实轴x、ij两个虚轴表示旋转因子q和被旋转复数p那么p绕某个轴转动时有 x轴绕j轴转动x×(abi) [j不出现] i轴绕x轴转动i×(abj) [x不出现]此时会出现一个问题i×j这一项并不能表示实轴x因为没有规定。i×i-1是可以的但i×j不是实数。因此由于ijx三轴虽然呈相互垂直关系但无法用叉乘相互表示不满足计算的需求。因此引入四维复数(四元数)在三维复数的基础上再引入一个虚轴k而将实轴x0隐去此时ijk三轴满足叉乘相互表示(右手螺旋定则)。因此用四维复数替代三维复数只是因为实轴x无法通过ij叉乘表示不满足计算需要而已。将四维复数的实部置零形式上是四维当实际上用的时候是三维实部是不需要的。另一个角度思考(如被转复数p2只含有实部时这个点既可以说是一维轴上的一个点也可以说是二维平面内的一个点。低维的点、线、面等都既可以存在于它自身的维度上又可以存在于任意更高的维度内。)二维中旋转因子qabi可以将原本在实轴上的一维的点转进二维的平面里。乘以几维的复数就是在几维空间中进行旋转比如乘以四维复数那么就是在四维空间中进行旋转。但是旋转并不一定会把实轴上的一维的p转到二维平面上去比如二维平面上有p2旋转因子定义为q3那么p、q都可以看做虚部为0的二维复数此时旋转p’q×p6此时的旋转只是在实轴上并没有把p转进二维平面上。四元数表示的三维空间中的旋转也是这个道理p是一个纯四元数实部为0是实实在在的三维空间中的一个向量我们对p乘以另一个四元数q时实际上是在四维空间中进行的一个旋转只不过如同二维平面上一样我们可以通过某种方式让p的旋转只保持在三维空间中而不至于转到四维空间中去。另外引自https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399…所以从始至终四元数定义的都是四维旋转而不是三维旋转……说白了三维旋转就是四维旋转的一个特例就像二维旋转是三维旋转的一个特例一样。……qpq-1这种左乘单位四元数右乘其共轭的表达式……这个运算形式是为了限制其运算结果所在的空间。简单的说当对一个三维向量进行三维旋转后我们希望得到的是一个三维向量。……那么这个左乘单位四元数右乘其共轭的运算保证了结果是一个在三维超平面上中的纯四元数。四、四元数的书写表示设四元数表示为[s,v]其中s为一个实数是四元数的实部。v是纯虚数vxiyjzk。则四元数的叉乘计算为q1×q2[sa , va]×[sb , vb][sa•sbva•vb , sa•vbsb•vava×vb]定义单位四元数q[s , v],|q|1纯四元数q[0 , v],即实部为0是一个三维空间中的向量五、四元数表示旋转原贴见https://blog.csdn.net/linyijiong/article/details/79777399二维空间中旋转因子qcosθsinθi,由上一部分的四元数书写表示亦可将二维的旋转因子表示为q[ cosθ,sinθv],其中v为一维纯虚数vi。三维空间中既然要用四维复数表示旋转那么也可以定义旋转因子为q[ cosθ,sinθv],其中v为三维纯虚数vaibjcz。(留一个问题二维平面上q能画出来三维空间中这个q呢)现有被旋转三维复数写成四维的纯四元数形式p[0,p]旋转因子q[ cosθ,sinθv] 则p’q×p[ sinθv•p , cosθ•p sinθv×p]①v和p正交时绕v旋转45°则p’[ 0 , cosθ•p sinθv×p]举例p[0,2i] q[√2/2,√2/2 v]为了v和p正交不妨设vk则p’[0, √2i√2k×i][0, √2i√2j]旋转过程如下图绕k轴旋转45°。② v和p不正交时绕v旋转45°则p’[ sinθv•p , cosθ•p sinθv×p]举例p[0,2i]不变 q[√2/2,√2/2 v]为了v和p不正交不妨设v √2/2 i√2/2 k此时计算p’q×p[-1, √2ij]可以看到计算结果p’已经不再是纯四元数了实际上就是p被q转进了四维空间而在其纯虚数ijk的三维空间内的投影如上图所示红色的p并没有绕玫红色的v √2/2 i√2/2 k旋转45°而且|p’|≠2被拉伸变形了。此时Hamilton提出了一种修正算法这样可以算的p’[0,i√2jk]如下图所示此时旋转后的|p’|2没有被拉伸但是转过了90°(p-v平面和p’-v平面夹角为90即p-v平面绕着v逆时针转了90°)角度上变为了两倍因此进一步修正令六、四元数→欧拉角原贴见https://www.cnblogs.com/kljfdsa/p/9093009.html空间中的三维旋转可视为绕三个基本轴的旋转组合叠加绕 x,y,z (分别代表i,j,k三个轴)三个基本轴旋转角度分别为 ϕθψ 则三个基本旋转的四元素可表征为绕三个基本轴的旋转次序不同其表征的空间旋转也不同下面以ZYX的顺序计算(此处根据参考资料撰写和前面的几块内容在左乘右乘上顺序不同此处是右乘就是顺时针转动)则已知四元数时反求欧拉角