奈曼旗建设局网站,魔方 网站建设 有限公司,网站搭建 虚拟空间,宁波seo优化公司排名前言 前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系#xff0c;现在了解下矩阵和矩阵的关系 方阵的特征值与特征向量 假设A为n阶方阵#xff0c;对于一个数 λ \lambda λ 若存在#xff1a;非零列向量 α \alpha α#xff0c;使得#xff1a; A α ⃗ λ α ⃗ A\vec{\alp…前言 前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系现在了解下矩阵和矩阵的关系 方阵的特征值与特征向量 假设A为n阶方阵对于一个数 λ \lambda λ 若存在非零列向量 α \alpha α使得 A α ⃗ λ α ⃗ A\vec{\alpha}\lambda\vec{\alpha} Aα λα λ \lambda λ叫做矩阵A的一个特征值 α ⃗ \vec{\alpha} α 叫做对应特征值的特征向量 由于 α ⃗ \vec\alpha α 是非零列向量把 λ \lambda λ作为未知量 A − λ E 0 A-\lambda E 0 A−λE0因为存在 λ \lambda λ解 ∣ A − λ E ∣ 0 |A-\lambda E| 0 ∣A−λE∣0 求解特征方程 给一个n阶矩阵A写出特征矩阵 ( 4 − 2 1 1 ) − ( λ 0 0 λ ) ( 4 − λ − 2 1 1 − λ ) \begin{pmatrix} 4 -2\\ 1 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda 0\\ 0 \lambda\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4- \lambda -2\\ 1 1-\lambda\end{pmatrix} (41​−21​)−(λ0​0λ​)(4−λ1​−21−λ​) 将特征矩阵转为特征行列式 ∣ 4 − λ − 2 1 1 − λ ∣ − ∣ 1 1 − λ 4 − λ − 2 ∣ − ∣ 1 1 − λ 0 − 2 − ( 1 − λ ) ∗ ( 4 − λ ) ∣ 0 \begin{vmatrix} 4- \lambda -2\\ 1 1-\lambda\end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 1 1-\lambda\\ 4- \lambda - 2\end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 1 1-\lambda\\ 0 -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} 0 ​4−λ1​−21−λ​ ​− ​14−λ​1−λ−2​ ​− ​10​1−λ−2−(1−λ)∗(4−λ)​ ​0 求出根 λ 2 − 5 λ 6 0 ⟹ λ 1 2 , λ 2 3 \lambda^2-5\lambda 6 0 \Longrightarrow \lambda_12 ,\lambda_23 λ2−5λ60⟹λ1​2,λ2​3 求解特征值对应的特征向量 将 λ 1 2 , λ 2 3 \lambda_12 ,\lambda_23 λ1​2,λ2​3 代入 A − λ E α ⃗ 0 A-\lambda E\vec{\alpha} 0 A−λEα 0 基本性质 特征值和特征向量就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。特征值 λ \lambda λ用于消除“坐标”某一维度得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”如果出现了 λ \lambda λN重根则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度 方阵的行列式方阵的全部特征值之积方阵主对角线元素之和方阵的全部特征值之和 相似矩阵 相似矩阵的定义可以用坐标系变换的视角来理解 需要把A和B看做是两个变换那么 A P − 1 B P AP^{-1}BP AP−1BP具体是指 A是P坐标系下的一个变换该变换若在标准坐标系下观察则是B变换 例如在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A 若A和B相似因观察的视角不同但本质是相同的变换 相似矩阵的性质 若A和B相似即 A ∽ B B ∽ A A \backsim B \quad B \backsim A A∽BB∽A 相似矩阵的行列式值相同相似矩阵的特征值相同相似矩阵的秩相同相似矩阵的迹相同相似矩阵的可逆性相同 主要参考 《11.3 求解特征值和特征向量基础解系法》 《11.4 特征值与特征向量的性质》 《11.5特征值与矩阵的迹》 《1.6 特征根的代数重数与几何重数》 《11.7 相似矩阵到底在说什么》