1.AVL树

1.AVL的概念

AVL树可以是一个空树。
它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。
AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在 log^N ，那么增删查改的效率也可以控制在O(log^N ) ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

2.平衡因子

结点的平衡因子=右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标一样。
为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？
因为例如二和四个结点无法达到0.

2.AVl树的实现

2.1AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node * _root = nullptr;
};

2.2AVL树的插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因⼦while (parent){// 更新平衡因⼦if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){// 更新结束break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，旋转处理break;}else{assert(false);}}return true;
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。