作业：
自由作业：探索下什么时候用到降维？降维的主要应用？或者让ai给你出题，群里的同学互相学习下。可以考虑对比下在某些特定数据集上t-sne的可视化和pca可视化的区别。
一、什么时候用到降维？
降维通常用于以下几类情况：
1. 数据可视化
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高维数据（>3维）无法直接可视化，常用降维将数据映射到2D或3D平面进行展示。
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常用方法：PCA、t-SNE、UMAP。
2. 数据压缩 / 存储优化
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高维数据存储代价大，降维后可减少冗余特征，节省存储空间。
3. 降噪（Denoising）
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高维特征空间中可能存在大量噪声维度，降维有助于突出主要结构。
4. 加速模型训练 / 避免维数灾难
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在监督学习或聚类中，太多维度容易导致过拟合或训练缓慢，降维可提升效率和模型泛化能力。
5. 特征冗余或共线性问题
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特征间高度相关时，降维可消除多重共线性，提高建模稳定性。
二、降维的主要方法与应用场景
| 方法 | 类型 | 原理简介 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| PCA | 线性、无监督 | 主成分投影，保留最大方差方向 | 高维数据压缩、线性结构数据可视化 |
| t-SNE | 非线性、无监督 | 保持局部结构的概率分布相似性 | 聚类结构可视化、非线性流形数据展示 |
| UMAP | 非线性、无监督 | 通过图拓扑保持局部和整体结构 | 替代t-SNE，用于可视化/特征工程 |
| LDA | 线性、有监督 | 最大化类间方差与类内方差比 | 分类问题的有监督降维 |
| Autoencoder | 非线性、有监督 | 利用神经网络编码压缩再解码还原数据 | 图像降噪、生成模型、特征提取 |
三、t-SNE vs PCA：可视化对比分析
1. 适用数据集
以MNIST（手写数字图像，784维）或Iris数据集（4维）为例，我们可以观察两者的区别。
2. 可视化效果（以MNIST为例）
PCA 可视化：
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优点：快速，线性变换，可解释性强。
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缺点：只能保留全局最大方差方向，聚类不明显，容易“混团”。
t-SNE 可视化：
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优点：保留局部结构，同类样本聚得更紧，异类分得更开。
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缺点：
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非线性变换，不能用于后续建模；
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随机性大（不同run结果可能不同）；
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参数敏感，尤其是
perplexity。
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可视化示意图
| 方法 | 可视化效果简述 |
|---|---|
| PCA | 线性投影，点分布均匀，类聚不明显 |
| t-SNE | 同类样本成簇，聚类轮廓清晰 |
PCA 
t-SNE
四、实践建议：如何选用降维方法？
| 场景 | 建议方法 | 理由 |
|---|---|---|
| 数据预处理 | PCA | 快速提取主成分，增强模型泛化性 |
| 可视化非线性聚类结构 | t-SNE / UMAP | 更好展示局部结构，直观展示聚类效果 |
| 图像/文本压缩或编码 | Autoencoder | 可自适应学习低维特征表达 |
| 有标签分类建模前特征压缩 | LDA | 结合类别信息降维，提高类别区分能力 |
@浙大疏锦行
