写在前面：
从开始工作到现在，去过多家公司，多个行业，
虽然大部分时间在通信业，但也有其它的行业的工作没有做完，但也很感兴趣。每次想要研究一下时，总是想不起来。
这里写一些信息，作为备忘。
几何库
CGAL：
几何是我最喜欢思考与研究的事情之一
有很多原因。这里不多说了，其中一个，是时下的AI还不能理解几何。
这方面，我可以稍说几句（当然不是全部）：当下的AI是线性的语言学的范畴。这么说吧，语言，不太恰当地说，像计算机的外设那样，驱动的作用之一就是串行化，以前吉尼斯记录中，有一个长着两个舌头的人，不幸的是他的父母分别是两个国家的人，说两种语言，有一次父母因为什么，同时在责难他，结果，你猜怎么着？他小宇宙爆发：同时用两种语言怼父母。注意，这里的同时，不是我们日常理解的同时，而是并行的意思。
不过，显然，地球上有这能力的人没几个，不要说大脑，两个舌头这事，就不太好找是吧。
Transformer的attention是伟大的发明，因为尽管DNN需要极大的算力，但attention即大大减少了算力，但缺点是，即使是多头，还是将并行的神经网络，从某种方式，再次来到串行的领域。事实上，前面我也描述了，你不可能并行对别人输出语言，所以，这的确不是transformer的问题，因为我们程序员讲求：实现的目标与自然一致性。所以，如果你是合格的程序员，就会明白我说什么了。
而大脑的确是并行的。
不要说别的事，就是最最基础的三段论，你只要稍稍思考一下，它就是并行的。要知道三段论，是我们世界构建的基础。是逻辑的最小粒度。
所以，当前的AI对几何毫无办法，就很容易理解了。不仅仅是因为几何是一种有架构的存在，更是因为其证明过程不仅需要辅助线这类的创造性的、探索性的、试探性的，这种并行思维模式，这是当前的AI无法处理的。
实际上，我在Windriver的几年，真的对安全（Safe(对外安全),Security（对内安全））这两个字有了新的理解。这么说吧，现在所有的AI的公司，所谓的安全，其实是一种一厢情愿的说词。真正的安全，不仅仅来自于外部，更重要是主动对象能通过最起码的类比和比较，进行比较（人类没有正确的概念，只是从所有的错误中选择危害最小的）。这样它才能真正理解规则（订立规则已经很难了，但针对不同的context还能够基于其类比能力来比对这些规则）。所以，如果细想一下，你就知道，现在的包括OpenAI所说的安全，是没有可信的基础的。
几何库，有很多，但其它的我没有接触过。
只接触过 CGAL。
https://www.cgal.org/
csdn上有一些文章：
https://blog.csdn.net/qq_32867925/article/details/146365861
CAD
Eysshot
这个我不想多说了。一家意大利的公司，当时我想开发二维的CNC一类的产品，具体是什么不好说。但当时我调研了许多种CAD库，包括中国的。当然我不会评论，很失望，不是说对产品失望，而是那种现状。当然，这几年也许好一点。
我想他们公司人数很少，但一直在开发。价格便宜，1.5万。
也许你认为1.5W也很贵，那我是没有说国内的的价格，一家似乎出名的公司，要我一千万。我问为什么这么贵，说要要给我源代码。我说，我不要源码，我双不是CAD公司，你封装成COM组件再报价，然后就没了下文，我怀疑这家公司（中国最出名的）已没有任何一名开发者了。真的。
有兴趣的可以研究一下这个库。
(Computational Geometry Algorithms Library)，这是一个非常强大的计算几何库，特别适合需要精确几何计算的2D（以及3D）应用，包括CAD相关开发。以下是对 CGAL 的详细介绍：
(3) CGAL 示例与Clipper
CGAL特点是高精度浮点。更学术，重精度，轻执行效率。
Clipper相反，是定点运算的，更快速。但要注意精度，例如，需要四舍五入时，要自己round，不要norm.
(3.1) CGAL (Computational Geometry Algorithms Library)
CGAL 是一个开源的C++库，专注于计算几何算法和数据结构。它不仅限于2D，还支持3D几何，但其2D功能非常强大，适用于2D CAD 或图形处理。
-
主要特点:
- 2D几何支持:
点、线段、多边形、直线、圆等基本几何对象。- 多边形操作（交集、并集、差集、偏移等）。
- Delaunay 三角剖分和 Voronoi 图。
- 凸包计算。
- 精确性: 使用精确的算术（如有理数或浮点数过滤器），避免浮点误差，非常适合CAD应用。
- 模块化: 提供多种独立模块，可以按需选择使用（如 2D Triangulation、2D Boolean Operations 等）。
- 灵活性: 支持自定义数据类型和几何内核（例如 Cartesian 或 Homogeneous 坐标系）。
- 与可视化工具集成: 可结合 Qt 或其他库进行图形化展示。
- 2D几何支持:
-
适用场景:
2D CAD 软件开发（例如多边形建模、路径规划）。- 地理信息系统 (GIS)。
- 机器人路径规划或计算机图形学中的几何处理。
- 许可证: 双重许可 - LGPL（核心部分）和 GPL（某些高级功能），具体取决于使用的模块。
-
依赖:
- 需要 Boost 库。
- 可选依赖 GMP（大数运算）和 MPFR（高精度浮点运算）以提升性能和精度。
-
链接: cgal.org
(3.2)CGAL 的 2D 功能示例
- 基本几何操作:
- 计算两线段的交点。
- 判断点是否在多边形内。
- 多边形处理:
- 支持带孔多边形 (Polygons with Holes)。
- 布尔运算（例如两个多边形的并集或差集）。
- 高级功能:
- 2D 最小外接圆或矩形。
- 点集的三角剖分。
最简示例: 展示如何使用 CGAL 计算两个线段的交点：
#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <iostream>typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel K;
typedef K::Point_2 Point_2;
typedef K::Segment_2 Segment_2;int main() {Point_2 p1(0, 0), p2(2, 2), p3(0, 2), p4(2, 0);Segment_2 s1(p1, p2), s2(p3, p4);auto result = CGAL::intersection(s1, s2);if (result) {if (const Point_2* p = boost::get<Point_2>(&*result)) {std::cout << "交点: (" << p->x() << ", " << p->y() << ")\n";}} else {std::cout << "无交点。\n";}return 0;
}
CGAL 示例
示例 1: 多边形布尔运算（并集）
计算两个多边形的并集，这在 CAD 中常用于合并形状。
#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Polygon_2.h>
#include <CGAL/Boolean_set_operations_2.h>
#include <iostream>typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel K;
typedef CGAL::Polygon_2<K> Polygon_2;int main() {// 定义第一个多边形（矩形）Polygon_2 p1;p1.push_back(K::Point_2(0, 0));p1.push_back(K::Point_2(2, 0));p1.push_back(K::Point_2(2, 2));p1.push_back(K::Point_2(0, 2));// 定义第二个多边形（另一个矩形）Polygon_2 p2;p2.push_back(K::Point_2(1, 1));p2.push_back(K::Point_2(3, 1));p2.push_back(K::Point_2(3, 3));p2.push_back(K::Point_2(1, 3));// 计算并集std::list<Polygon_2> result;CGAL::join(p1, p2, std::back_inserter(result));// 输出结果for (const auto& poly : result) {std::cout << "并集多边形顶点数: " << poly.size() << "\n";for (const auto& vertex : poly.vertices()) {std::cout << "(" << vertex.x() << ", " << vertex.y() << ")\n";}}return 0;
}
示例 2: 多边形偏移（Offset）
在 CNC 中，偏移多边形常用于生成刀具路径。
#include <CGAL/Exact_predicates_exact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/Polygon_2.h>
#include <CGAL/create_offset_polygons_2.h>
#include <iostream>typedef CGAL::Exact_predicates_exact_constructions_kernel K;
typedef CGAL::Polygon_2<K> Polygon_2;int main() {// 定义一个简单多边形Polygon_2 poly;poly.push_back(K::Point_2(0, 0));poly.push_back(K::Point_2(2, 0));poly.push_back(K::Point_2(2, 2));poly.push_back(K::Point_2(0, 2));// 计算向外偏移 0.5 个单位double offset_distance = 0.5;std::vector<std::shared_ptr<Polygon_2>> offset_polys =CGAL::create_exterior_offset_polygon_2(poly, offset_distance);// 输出偏移后的多边形for (const auto& offset_poly : offset_polys) {std::cout << "偏移多边形顶点数: " << offset_poly->size() << "\n";for (const auto& vertex : offset_poly->vertices()) {std::cout << "(" << vertex.x() << ", " << vertex.y() << ")\n";}}return 0;
}
示例 3: 点集的凸包
在几何推理中，凸包常用于边界检测。
#include <CGAL/Exact_predicates_inexact_constructions_kernel.h>
#include <CGAL/convex_hull_2.h>
#include <vector>
#include <iostream>typedef CGAL::Exact_predicates_inexact_constructions_kernel K;
typedef K::Point_2 Point_2;int main() {// 定义点集std::vector<Point_2> points = {Point_2(0, 0), Point_2(1, 2), Point_2(2, 1),Point_2(3, 3), Point_2(0, 4)};// 计算凸包std::vector<Point_2> hull;CGAL::convex_hull_2(points.begin(), points.end(), std::back_inserter(hull));// 输出凸包std::cout << "凸包顶点数: " << hull.size() << "\n";for (const auto& p : hull) {std::cout << "(" << p.x() << ", " << p.y() << ")\n";}return 0;
}
Clipper 示例
Clipper 使用整数坐标（需要缩放浮点数），更轻量，专注于多边形剪裁和偏移。
示例 1: 多边形布尔运算（交集）
计算两个多边形的交集。
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;int main() {// 定义路径（坐标乘以 100 以转换为整数）Paths subj(2), clip(1), solution;subj[0] << IntPoint(0, 0) << IntPoint(200, 0) << IntPoint(200, 200) << IntPoint(0, 200); // 矩形subj[1] << IntPoint(100, 100) << IntPoint(300, 100) << IntPoint(300, 300) << IntPoint(100, 300); // 另一个矩形// 执行交集操作Clipper c;c.AddPaths(subj, ptSubject, true);c.AddPath(subj[1], ptClip, true);c.Execute(ctIntersection, solution);// 输出结果（除以 100 恢复浮点数）std::cout << "交集多边形数: " << solution.size() << "\n";for (const auto& poly : solution) {for (const auto& p : poly) {std::cout << "(" << p.X / 100.0 << ", " << p.Y / 100.0 << ")\n";}}return 0;
}
示例 2: 多边形偏移
生成刀具路径的偏移多边形。
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;int main() {// 定义多边形Path subj;subj << IntPoint(0, 0) << IntPoint(200, 0) << IntPoint(200, 200) << IntPoint(0, 200);// 设置偏移量（乘以 100）ClipperOffset co;Paths solution;co.AddPath(subj, jtSquare, etClosedPolygon);co.Execute(solution, 50.0); // 偏移 0.5 个单位// 输出结果for (const auto& poly : solution) {std::cout << "偏移多边形顶点数: " << poly.size() << "\n";for (const auto& p : poly) {std::cout << "(" << p.X / 100.0 << ", " << p.Y / 100.0 << ")\n";}}return 0;
}
示例 3: 多边形面积计算
在 CNC 中，面积计算可用于材料估算。
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;int main() {// 定义多边形Path poly;poly << IntPoint(0, 0) << IntPoint(200, 0) << IntPoint(200, 200) << IntPoint(0, 200);// 计算面积（结果为整数，需除以 10000 转换为平方单位）double area = Area(poly) / 10000.0;std::cout << "多边形面积: " << area << "\n";return 0;
}
CGAL vs Clipper 比较
| 特性 | CGAL | Clipper |
|---|---|---|
| 功能范围 | 全面（凸包、三角剖分、多边形操作等） | 专注多边形剪裁和偏移 |
| 精度 | 高（支持精确算术） | 基于整数（需手动缩放浮点数） |
| 性能 | 稍慢（强调正确性） | 更快（轻量设计） |
| 易用性 | 较复杂（需熟悉模板和几何概念） | 简单（API 直观） |
| 依赖 | Boost、GMP 等 | 无外部依赖 |
| 适用场景 | 复杂几何推理、CAD 开发 | CNC 刀具路径、多边形处理 |
Clipper的定点示例和round
下面提定标的示例. 例如Q13.
Clipper 中“定点到浮点”是指 定标（Scaling）。
Clipper 内部使用整数（long long 类型）来表示坐标，以避免浮点运算带来的精度问题。为了处理浮点数坐标，需要手动将浮点数“定标”到整数（通常通过乘以一个比例因子），然后在结果输出时再“反定标”回浮点数。
这种方法在 CAD 和 CNC 应用中非常常见，因为它兼顾了精度和性能。
Clipper 没有内置的定点格式（如 Q13），但你可以通过选择适当的定标因子（例如 2 13 2^{13} 213）来模拟类似 Q13 的定点运算。
Q13 是一种定点数格式，其中 13 位用于表示小数部分，通常用 2^{13} = 8192 作为定标因子。
示例 1: 使用 Q13 定标进行多边形交集
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;const double SCALE_FACTOR = 8192.0; // Q13 定标因子，2^13// 将浮点坐标转换为 Q13 整数坐标
void AddPoint(Path& path, double x, double y) {path << IntPoint(static_cast<long long>(x * SCALE_FACTOR), static_cast<long long>(y * SCALE_FACTOR));
}// 将整数坐标转换回浮点数
void PrintPath(const Path& path) {for (const auto& p : path) {double x = p.X / SCALE_FACTOR;double y = p.Y / SCALE_FACTOR;std::cout << "(" << x << ", " << y << ")\n";}
}int main() {// 定义两个多边形（浮点坐标）Paths subj(1), clip(1), solution;// 第一个多边形（矩形）AddPoint(subj[0], 0.0, 0.0);AddPoint(subj[0], 2.0, 0.0);AddPoint(subj[0], 2.0, 2.0);AddPoint(subj[0], 0.0, 2.0);// 第二个多边形（部分重叠矩形）AddPoint(clip[0], 1.0, 1.0);AddPoint(clip[0], 3.0, 1.0);AddPoint(clip[0], 3.0, 3.0);AddPoint(clip[0], 1.0, 3.0);// 执行交集运算Clipper c;c.AddPath(subj[0], ptSubject, true);c.AddPath(clip[0], ptClip, true);c.Execute(ctIntersection, solution);// 输出结果std::cout << "交集多边形数: " << solution.size() << "\n";for (const auto& poly : solution) {std::cout << "多边形顶点:\n";PrintPath(poly);}return 0;
}
说明:
使用
2^{13} = 8192 作为定标因子，将浮点坐标转换为整数。输出时除以 8192 恢复浮点数。这种方法模拟了 Q13 格式，小数部分精度为 1/8192 = 0.0001220703125。
示例 2: 使用 Q13 定标进行多边形偏移
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;const double SCALE_FACTOR = 8192.0; // Q13 定标因子void AddPoint(Path& path, double x, double y) {path << IntPoint(static_cast<long long>(x * SCALE_FACTOR), static_cast<long long>(y * SCALE_FACTOR));
}void PrintPath(const Path& path) {for (const auto& p : path) {double x = p.X / SCALE_FACTOR;double y = p.Y / SCALE_FACTOR;std::cout << "(" << x << ", " << y << ")\n";}
}int main() {// 定义多边形（浮点坐标）Path subj;AddPoint(subj, 0.0, 0.0);AddPoint(subj, 2.0, 0.0);AddPoint(subj, 2.0, 2.0);AddPoint(subj, 0.0, 2.0);// 设置偏移量（浮点数 0.1，定标后为整数）double offset_distance = 0.1;ClipperOffset co;Paths solution;co.AddPath(subj, jtSquare, etClosedPolygon);co.Execute(solution, offset_distance * SCALE_FACTOR); // 偏移量也要定标// 输出结果std::cout << "偏移多边形数: " << solution.size() << "\n";for (const auto& poly : solution) {std::cout << "偏移多边形顶点:\n";PrintPath(poly);}return 0;
}
说明:
偏移距离 (0.1) 被乘以 8192 转换为整数（819.2 四舍五入为 819）。结果坐标除以 8192 恢复为浮点数。
示例 3: 使用自定义定标因子（非 Q13）
如果 Q13 的精度（1/8192）不够，可以自定义更大的定标因子，例如 10000。
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>using namespace ClipperLib;const double SCALE_FACTOR = 10000.0; // 自定义定标因子void AddPoint(Path& path, double x, double y) {path << IntPoint(static_cast<long long>(x * SCALE_FACTOR), static_cast<long long>(y * SCALE_FACTOR));
}void PrintPath(const Path& path) {for (const auto& p : path) {double x = p.X / SCALE_FACTOR;double y = p.Y / SCALE_FACTOR;std::cout << "(" << x << ", " << y << ")\n";}
}int main() {// 定义多边形Path subj;AddPoint(subj, 0.0, 0.0);AddPoint(subj, 1.5, 0.0);AddPoint(subj, 1.5, 1.5);AddPoint(subj, 0.0, 1.5);// 计算面积double area = Area(subj) / (SCALE_FACTOR * SCALE_FACTOR);std::cout << "多边形面积: " << area << "\n";// 输出顶点（验证）std::cout << "多边形顶点:\n";PrintPath(subj);return 0;
}
说明:定标因子为 10000，小数精度为 0.0001。面积计算时需要除以 SCALE_FACTOR^2，因为面积是二维的。
关于 Q13 和定标的注意事项
-
Q13 的精度:
Q13 使用 13 位表示小数部分，适合中等精度需求。最大整数部分取决于 long long 的位数（通常 64 位），减去 13 位小数后仍有约 50 位整数部分，足够大多数 CAD/CNC 应用。 -
选择定标因子:
如果你的坐标范围较小（如 0 到 10），可以用较大的因子（如 10000 或 2^{16} = 65536）以提高精度。
如果坐标范围很大（如 0 到 10000），用较小的因子（如 100 或 1000）以避免整数溢出。 -
溢出检查:
Clipper 使用 long long（64 位），最大值为 2^{63} - 1。定标后的坐标不能超过这个值。例如，若因子为 8192，最大浮点坐标约为 2 63 / 8192 ≈ 1.125 × 1 0 15 2^{63} / 8192 \approx 1.125 \times 10^{15} 263/8192≈1.125×1015，远超实际需求。
CAD 和 CNC: Clipper 的定标机制非常适合 CNC 刀具路径生成，因为它快速且专注于多边形操作。Q13 或类似定标因子可以满足大多数加工精度的需求（例如 0.0001 mm）。
几何推理: 如果你需要更复杂的推理（例如点在多边形内的判断），Clipper 的功能较有限，可能需要结合其他库（如 CGAL）。
如果你有具体的坐标范围或精度要求（例如“精度要到 0.001 mm”）。
如果需要考虑截断误差: 显式四舍五入
我们可以改进代码，在定标时加入四舍五入，以减少误差。C++ 中可以用 std::round 或手动加 0.5 后取整。以下是改进后的示例：
示例 1: 四舍五入的多边形交集
#include <clipper.hpp>
#include <iostream>
#include <cmath> // 为了 std::roundusing namespace ClipperLib;const double SCALE_FACTOR = 8192.0; // Q13 定标因子// 使用四舍五入将浮点坐标转换为整数
void AddPoint(Path& path, double x, double y) {path << IntPoint(static_cast<long long>(std::round(x * SCALE_FACTOR)), static_cast<long long>(std::round(y * SCALE_FACTOR)));
}void PrintPath(const Path& path) {for (const auto& p : path) {double x = p.X / SCALE_FACTOR;double y = p.Y / SCALE_FACTOR;std::cout << "(" << x << ", " << y << ")\n";}
}int main() {Paths subj(1), clip(1), solution;// 第一个多边形（矩形）AddPoint(subj[0], 0.0, 0.0);AddPoint(subj[0], 2.0, 0.0);AddPoint(subj[0], 2.0, 2.0);AddPoint(subj[0], 0.0, 2.0);// 第二个多边形（带小数坐标）AddPoint(clip[0], 1.499, 1.499);AddPoint(clip[0], 3.501, 1.499);AddPoint(clip[0], 3.501, 3.501);AddPoint(clip[0], 1.499, 3.501);// 执行交集运算Clipper c;c.AddPath(subj[0], ptSubject, true);c.AddPath(clip[0], ptClip, true);c.Execute(ctIntersection, solution);// 输出结果std::cout << "交集多边形数: " << solution.size() << "\n";for (const auto& poly : solution) {std::cout << "多边形顶点:\n";PrintPath(poly);}return 0;
}
 leetcode刷题)
 Practice 1028 List Sorting)
