针对永磁电机(PMM)的d轴和q轴电流，考虑交叉耦合补偿，设计P1控制器并推导出相应的传递函数

电流控制回路:针对永磁电机(PMM)的d轴和q轴电流，考虑交叉耦合补偿，设计P1控制器并推导出相应的传递函数。

1. 永磁电机（PMM）的数学模型

在同步旋转坐标系（ $d - q$ 坐标系）下，永磁同步电机（PMSM）的电压方程为：
[
\begin{cases}
u_d = R_si_d + L_d\frac{di_d}{dt}-\omega_eL_qi_q \
u_q = R_si_q + L_q\frac{di_q}{dt}+\omega_eL_di_d+\omega_e\psi_f
\end{cases}
]
其中， $u_d$ 和 $u_q$ 分别是 $d$ 轴和 $q$ 轴电压； $i_d$ 和 $i_q$ 分别是 $d$ 轴和 $q$ 轴电流； $R_s$ 是定子电阻； $L_d$ 和 $L_q$ 分别是 $d$ 轴和 $q$ 轴电感； $\omega_e$ 是电角速度； $\psi_f$ 是永磁体磁链。

2. 交叉耦合补偿

为了消除 $d$ 轴和 $q$ 轴之间的交叉耦合影响，我们引入补偿项。令：
[
\begin{cases}
u_{d_comp} = \omega_eL_qi_q \
u_{q_comp} = -\omega_eL_di_d-\omega_e\psi_f
\end{cases}
]
经过补偿后，电压方程变为：
[
\begin{cases}
u_d - u_{d_comp}= R_si_d + L_d\frac{di_d}{dt} \
u_q - u_{q_comp}= R_si_q + L_q\frac{di_q}{dt}
\end{cases}
]

3. PI 控制器设计

PI 控制器的一般形式为：
[
G_{PI}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}=\frac{K_ps + K_i}{s}
]
其中， $K_p$ 是比例系数， $K_i$ 是积分系数。

对于 $d$ 轴电流控制回路，控制器的输出为 $u_d - u_{d\_comp}$ ，输入为 $i_d^* - i_d$ （ $i_d^*$ 是 $d$ 轴电流给定值）。则有：
[
u_d - u_{d_comp}=G_{PI}(s)(i_d^* - i_d)
]
将 $u_d - u_{d\_comp}= R_si_d + L_d\frac{di_d}{dt}$ 代入上式，在拉普拉斯域中可得：
[
(R_s + L_ds)I_d(s)=G_{PI}(s)(I_d^(s)-I_d(s))
]
整理可得 $d$ 轴电流控制回路的传递函数：
[
\frac{I_d(s)}{I_d^(s)}=\frac{G_{PI}(s)}{R_s + L_ds+G_{PI}(s)}=\frac{K_ps + K_i}{L_ds^2+(R_s + K_p)s + K_i}
]

对于 $q$ 轴电流控制回路，控制器的输出为 $u_q - u_{q\_comp}$ ，输入为 $i_q^* - i_q$ （ $i_q^*$ 是 $q$ 轴电流给定值）。同理可得：
[
(R_s + L_qs)I_q(s)=G_{PI}(s)(I_q^(s)-I_q(s))
]
整理可得 $q$ 轴电流控制回路的传递函数：
[
\frac{I_q(s)}{I_q^(s)}=\frac{G_{PI}(s)}{R_s + L_qs+G_{PI}(s)}=\frac{K_ps + K_i}{L_qs^2+(R_s + K_p)s + K_i}
]

4. Python 代码示例（验证传递函数）

import control
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 电机参数
R_s = 1  # 定子电阻
L_d = 0.1  # d 轴电感
L_q = 0.1  # q 轴电感
K_p = 10  # 比例系数
K_i = 100  # 积分系数# d 轴传递函数
num_d = [K_p, K_i]
den_d = [L_d, R_s + K_p, K_i]
sys_d = control.TransferFunction(num_d, den_d)# q 轴传递函数
num_q = [K_p, K_i]
den_q = [L_q, R_s + K_p, K_i]
sys_q = control.TransferFunction(num_q, den_q)# 绘制阶跃响应
t = np.linspace(0, 1, 1000)
t_d, y_d = control.step_response(sys_d, t)
t_q, y_q = control.step_response(sys_q, t)plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t_d, y_d)
plt.title('d 轴电流控制回路阶跃响应')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('电流')plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t_q, y_q)
plt.title('q 轴电流控制回路阶跃响应')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('电流')plt.tight_layout()
plt.show()