本文系统梳理字节跳动近三年算法面试中的动态规划（DP）高频题型，提炼出适用于80%场景的通用解题模板。通过背包问题、字符串处理、状态压缩等六大核心模块解析，结合跳槽、股票交易、编辑距离等15道真题案例，揭示动态规划的状态转移方程构建规律与维度优化技巧，助您在面试中实现时间复杂度与空间复杂度的双重最优解。
第一章 动态规划基础框架
1.1 动态规划三大特征
| 特征 | 判定标准 | 真题案例 |
|---|---|---|
| 重叠子问题 | 递归树中存在重复计算节点 | 斐波那契数列 |
| 最优子结构 | 全局最优解包含局部最优解 | 最长递增子序列 |
| 无后效性 | 当前状态只与前一状态相关 | 不同路径问题 |
1.2 四步解题法模板
1.2.1 状态定义公式化
模板要素：
- 维度选择：1D/2D/高维状态
- 语义描述：
dp[i][j]表示在条件i、j下的最优解
示例（股票买卖）：
dp[i][k][0]：第i天完成k次交易后不持有股票的最大收益
1.2.2 状态转移方程
通用结构：
text复制
dp[i] = max/min(dp[i-1] +决策因子, 其他可能选择)
1.2.3 初始化与边界条件
- 初始状态：通常为
dp[0]或dp[0][0] - 边界处理：数组越界、负索引的防御性编程
第二章 高频题型分类解析
2.1 背包问题变形
2.1.1 01背包最优模板
| 参数 | 定义说明 |
|---|---|
| 物品数量n | 可选取物品总数 |
| 背包容量W | 总承载限制 |
| 状态转移方程 | dp[j] = max(dp[j], dp[j-w] + v) |
字节真题案例：
"字节电商货物装载"（2023校招题）：给定N个包裹的重量与运费，选择总重≤W且运费最大的组合
2.2 字符串处理
2.2.1 编辑距离优化版
| 操作 | 时间复杂度优化方案 |
|---|---|
| 插入/删除 | 滚动数组降维至O(n) |
| 替换 | 预处理字符映射表减少比较次数 |
状态方程：
text复制
dp[i][j] = min( dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + cost )
第三章 空间复杂度优化技巧
3.1 滚动数组降维
3.1.1 二维转一维
适用场景：当前状态仅依赖上一行数据
转换方法：
- 逆序更新防止覆盖未使用数据
- 示例：01背包问题空间从O(nW)优化至O(W)
3.2 状态压缩进阶
3.2.1 位运算优化
真题案例：
"字节跳动会议室安排"（2022社招题）：使用bitmask表示会议室占用状态，将O(2^n)优化至O(n*2^n)
3.2.2 离散化处理
- 步骤：
- 对超大范围状态值进行哈希映射
- 仅保留实际出现的状态点
第四章 时间维度优化策略
4.1 斜率优化
4.1.1 单调队列维护
适用题型：
状态转移方程形如dp[i] = max(dp[j] + f(i-j))
4.1.2 凸包优化
判断条件：
决策点形成的函数图像具有凸性
4.2 四边形不等式
4.2.1 区间DP加速
优化效果：
将O(n^3)复杂度降低至O(n^2)
真题案例：
"字节游戏关卡设计"（2021校招题）：通过合并相邻关卡获得最大积分
第五章 特殊场景处理方案
5.1 环形数组处理
5.1.1 破环成链法
实现步骤：
- 将原数组复制拼接为2n长度
- 限制窗口范围为n
真题案例：
"字节外卖骑手调度"（2023春招题）：环形区域内选择最优配送路径
5.2 概率期望DP
5.2.1 马尔可夫链建模
状态定义：
dp[i]表示从状态i到终态的期望步数
转移方程：
text复制
dp[i] = Σ(p_ij * (dp[j] + cost_ij))
第六章 常见错误与调试技巧
6.1 初始化陷阱
6.1.1 负无穷赋值
错误案例：
未正确初始化导致max/min比较失效
6.1.2 多维度初始化顺序
正确处理：
外层循环为第一维度，逐层向内初始化
6.2 越界问题
6.2.1 索引偏移处理
解决方案：
- 添加虚拟头节点（如
dp[0]表示空状态） - 使用1-based索引代替0-based
附录
附录A 高频题型速查表
| 题型 | 最优时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|
| 01背包问题 | O(nW) | O(W) |
| 最长公共子序列 | O(nm) | O(min(n,m)) |
| 股票买卖IV | O(nk) | O(k) |
附录B 字节真题索引
| 题目名称 | 考察重点 | 出现频次 |
|---|---|---|
| 跳台阶扩展版 | 状态压缩 | ★★★★☆ |
| 字符串交织 | 二维DP | ★★★☆☆ |
| 最大整除子集 | 数学性质结合 | ★★★★☆ |
