【蓝桥杯速成】| 4.递归

递归

题目一：最大公约数

问题描述

1979. 找出数组的最大公约数 - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 nums ，返回数组中最大数和最小数的 最大公约数 。

两个数的 最大公约数 是能够被两个数整除的最大正整数。

解题步骤

需要返回数组中最大最小值的最大公约数

那么首先需要求出最大最小值

可以使用for循环遍历得到

int minnum=INT_MAX,maxnum=INT_MIN;
for(int i=0;i<nums.size();i++){if(nums[i]<minnum){minnum=nums[i];}if(nums[i]>maxnum){maxnum=nums[i];}
}

当然也可以使用

求最大值和最小值的函数

最大值：std::max_element
最小值：std::min_element

这些函数返回的是指向最大值或最小值的迭代器，因此需要通过解引用操作符 * 来获取具体的值。

int maxnum=*max_element(nums.begin(),nums.end());
int minnum=*min_element(nums.begin(),nums.end());

接下来就是求最大公约数

根据数学知识，我们可以使用辗转相除法

那么很明显这是个递归过程，每次要求的是较大值除以较小值的余数，

终止条件就是余数为零，代表整除

所以求最大公倍数的函数应该是

int GCD(int maxnum,int minnum){if(maxnum%minnum == 0)return minnum;else return GCD(minnum,maxnum%minnum);
}

最后只需要在主函数中调用即可，完整代码在下面！

补充说明：C++的标准库中有计算两个整数最大公约数的函数，就叫gcd，可以直接调用，但此处想强调的是最基础的递归逻辑，故手动实现了一把！

code

class Solution {
public:int GCD(int maxnum,int minnum){if(maxnum%minnum == 0)return minnum;else return GCD(minnum,maxnum%minnum);}int findGCD(vector<int>& nums) {// int minnum=INT_MAX,maxnum=INT_MIN;// for(int i=0;i<nums.size();i++){//     if(nums[i]<minnum){//         minnum=nums[i];//     }//     if(nums[i]>maxnum){//         maxnum=nums[i];//     }// }int maxnum=*max_element(nums.begin(),nums.end());int minnum=*min_element(nums.begin(),nums.end());return GCD(maxnum,minnum);}
};

题目二：FJ的字符串

问题描述

FJ在沙盘上写了这样一些字符串：
　　A1 = “A”
　　A2 = “ABA”
　　A3 = “ABACABA”
　　A4 = “ABACABADABACABA”
　　… …
　　你能找出其中的规律并写所有的数列AN吗？

输入格式

仅有一个数：N ≤ 26。

输出格式

请输出相应的字符串AN，以一个换行符结束。输出中不得含有多余的空格或换行、回车符。

样例输入

样例输出

ABACABA

解题步骤

观察这些字符串，不难发现

　　A1 = “A”
　　A2 = “ABA”
　　A3 = “ABACABA”
　　A4 = “ABACABADABACABA”

整体规律就是：AN=A(N-1)+第N号字母+A(N-1)

那么也可以用递归方法实现

直接利用找到的规律写出代码即可，注意字符转化

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string FJ(int N){if(N==1){return "A";}else{return FJ(N-1)+(char)('A'+N-1)+FJ(N-1);}
}
int main(){int N;cin>>N;cout<<FJ(N);return 0;
}

题目三：递归实现指数型枚举

问题描述

从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数n。

输出格式

每行输出一种方案。同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。对于没有选任何数的方案，输出空行。各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1 ≤ n ≤ 15

示例

输入：3

输出：1，12，13，123，2，23，3

输入：4

输出：1，12，13，14, 123，134, 1234, 2，23，24, 234, 3, 34, 4

解题步骤

观察题目和示例，可以看到这个n既是输出的最大长度，也是所取数字的最大值

组合成的每一个数字实际上有重复关系，使用递归法

观察输出，实际上是对1~n中每个数字的选与不选

即取n时与取n-1时的区别在于增加了n这个数字所组成的组合（单层递归）

	dfs(index+1,n,current);//不选择该数字 ，即n-1产生的所有答案current.push_back(index);//index加入该数字 dfs(index+1,n,current);//生成新的组合

规定同一行的数必须升序排列，那么第一个元素的大小还决定了该行答案出现数字的下界，并且第一个元素是从1，2，3，，，n

那么递归的终止条件为

	if(index>n){for(int i=0;i<current.size();i++){cout<<current[i]<<" ";}cout<<endl;return;}

dfs具备以上两个主要部分后，只剩下确定参数啦

n作为上界是必须一直使用的，index作为下界需要在传递过程中改变，答案数组current也需要传递使用

那么整个函数的定义为void dfs(int index,int n,vector<int> current){

在主函数中完善输入，调用函数即可实现该题

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void dfs(int index,int n,vector<int> current){if(index>n){for(int i=0;i<current.size();i++){cout<<current[i]<<" ";}cout<<endl;return;}dfs(index+1,n,current);//不选择该数字 current.push_back(index);//index加入该数字 dfs(index+1,n,current);//生成新的组合 
}int main(){int n;cin>>n;vector<int> current;dfs(1,n,current);return 0;
}

题目四：递归实现排列型枚举

问题描述

1-n个这 n 个整数拍成一排并打乱次序，输出所有可以选择的方案。

示例

输入：3

输出：

123

132

213

231

312

321

解题步骤

这个题目如果直接用笔算的话，可以看成是三个格子的填空游戏

从1开始作为第一位，再从余下的数字选择填入，是全排列

利用递归解决还是需要3步走

确定终止条件

如果第一位大于n那么结束，并输出该序列

    if(i>n){for(int j=1;j<=n;j++){cout<<s[j]<<" ";}cout<<endl;return;}

按顺序给1，2，3，4，，，n这n个数字一个当老大的机会，并逐步确定后面的小弟队伍

注意记录每一位小弟的排队情况（即有无使用过）

排进去后进行下一位，

递归完毕后会开启新一轮，需要恢复当前值和当前结果数组的使用情况（下一轮重新开始还得用呢！）

    for(int j=1;j<=n;j++){if(!used[j]){//该数字没有被使用过 s[i]=j;//记录该数字 used[j]=true;//更新记录情况dfs(i+1);//进行下一轮 used[j]=false;//回溯 s[i]=0;//清空 }}

那么这个dfs的参数就比较简单了，只需要传入n即可void dfs(int i)

code

#include<iostream>
using namespace std;const int N=10;
int n;
bool used[N];//记录数字是否用过 
int s[N];//保存方案 
void dfs(int i){if(i>n){for(int j=1;j<=n;j++){cout<<s[j]<<" ";}cout<<endl;return;}for(int j=1;j<=n;j++){if(!used[j]){//该数字没有被使用过 s[i]=j;//记录该数字 used[j]=true;//更新记录情况dfs(i+1);//进行下一轮 used[j]=false;//回溯 s[i]=0;//清空 }}
}
int main(){cin>>n;dfs(1);return 0;
}

题目五：递归实现组合型枚举

问题描述

1-n个数字中随机选取 m 个，每种方案按照里的数字按照从小到大的顺序排列，按照字典序输出。

示例

输入：5 3

输出：

123

124

125

134......

345

解题步骤

这题不一样之处在于它多了个m，由两个值决定取值范围，取值个数

思路还是一样的

先写出终止条件，如果当前数大于最大取值个数m，输出当前序列

	if(now>m){for(int i=1;i<=m;i++){cout<<s[i]<<" ";}cout<<endl;return;}

单层递归呢就是，从当前遍历到的数字一直到n中，遍历选择，存入s中，再取下一位

	for(int i=start;i<=n;i++){//可用范围内随意挑选 s[now]=i;dfs(now+1,i+1);s[now]=0;}

那么函数的参数需要当前值和开始值void dfs(int now,int start)

除此以外该函数可以再加一个剪枝操作，不做无用功

if(now+n-start<m) return;//不够用

同样在主函数中进行输入和传参调用即可

code

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=35;
int n,m;
int s[N];
void dfs(int now,int start){if(now+n-start<m)	return;//不够用if(now>m){for(int i=1;i<=m;i++){cout<<s[i]<<" ";}cout<<endl;return;} for(int i=start;i<=n;i++){//可用范围内随意挑选 s[now]=i;dfs(now+1,i+1);s[now]=0;}
}
int main(){cin>>n>>m;dfs(1,1);return 0;
}