前缀和与差分算法详解

定义

前缀和是一种数据预处理技术，它指的是从数组的第一个元素开始，到当前元素为止的所有元素的和。这种技术可以快速计算任意区间内元素的和，而不需要每次都从头开始累加。

差分则是前缀和的逆运算，它主要用于处理对数组某个区间内所有元素同时增加或减少一个常数的操作。

一维前缀和

对于数组a，其前缀和数组s可以表示为s[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]。

在一维数组中，前缀和可以在O(1)的时间复杂度内求出任意区间[l, r]的和，公式为a[l] + a[l+1] + ... + a[r] = s[r] - s[l-1]。

下面用一个具体的题目来说明：

输入一个长度为n的整数序列。接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n,

1≤n,m≤100000,

−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例

输出样例

3
6
10

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;int main()
{int n, m;cin >> n >> m;int *num = new int[n + 1]; // 用于存储所给数列int *sum = new int[n + 1]; // sum[i]存储num[]中前i项和，这样闭区间[l,r]上的数列和就可表示为sum[r]-sum[l-1]，时间复杂度为O(1)，比从l到r的累加快for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> num[i];for (int i = 1; i <= n; i++)sum[i] = sum[i - 1] + num[i]; // 计算前i项和并存储while (m--){int l, r;cin >> l >> r;cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;}return 0;
}

一维差分

差分是前缀和的逆运算。对于前缀和数组来说，原数组就是差分数组。理解差分算法首先需要知道怎么求差分数组。由于前缀和数组表示从第一个元素到当前元素的和，所以当给定前缀和数组的时候，我们通过相邻两项做差就能得到差分数组。

差分数组是根基，前缀和数组是受差分数组影响的。当差分数组的某一项加上了x，前缀和数组中这一项及其后面所有项在求和时都会受到影响，也都增加了x。减法同理。

根据这个性质，我们就可以快速的进行区间更新操作。具体做法是将需要进行区间更新的数组视为前缀和数组，然后将区间更新转化为对差分数组的操作。例如，我们需要将a数组的[l, r]范围的数都加上x。我们先计算a数组对应的差分数组b。然后我们将b[l]加上x，这就相当于前缀和数组a中第l项及其后面所有项也都加上了x。但是我们要更新的是[l, r]，第r项后面多更新了，所以需要进行补偿，将b[r + 1]减去x即可。想要得到更新后的数组，将差分数组再转化为前缀和数组即可。

下面用一个具体的题目来说明：

输入一个长度为n的整数序列。接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数序列。

接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤100000,

1≤l≤r≤n,

−1000≤c≤1000,

−1000≤整数序列中元素的值≤1000

输入样例

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例

3 4 5 3 4 2

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100000;
int a[N] = {}, b[N] = {}; // a数组为前缀和数组，b数组为差分数组int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];            // 将所给数列填入前缀和数组ab[i] = a[i] - a[i - 1]; // 同时利用相邻两项做差计算出差分数组b}while (m--){int l, r, c;cin >> l >> r >> c;b[l] += c;     // 差分数组在第l项加了c导致从第l项开始后面的前缀和数组每项也都加了cb[r + 1] -= c; // 差分数组在第r+1项减c会让前缀和数组从第r+1项开始少了c，正好和前面加的c抵消，实现[l,r]闭区间上a数组都加了c}for (int i = 1; i <= n; i++){b[i] += b[i - 1]; // 求前i项和，并保存在b数组的第i项，即将b数组重构成新的前缀和数组cout << b[i] << " ";}return 0;
}

二维前缀和

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤200000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例

输出样例

17
27
21

代码实现

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1001;
int a[N][N], s[N][N]; // a数组用于存放所给矩阵
// s数组存放以a[1][1]为左上角，a[i][j]为右下角的矩阵和int main()
{int n, m, q;cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)cin >> a[i][j]; // 输入a数组for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];// s[i-1][j]+s[i][j-1]有一块重叠区域被算了两遍，即s[i-1][j-1]，所以减去s[i-1][j-1]，// 再加上缺少的那一个格子，a[i][j]即为s[i][j]while (q--){int x1, x2, y1, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;// 类比概率论中二维随机变量的概率分布}return 0;
}

二维差分

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式

共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤1000,

1≤q≤100000,

1≤x1≤x2≤n,

1≤y1≤y2≤m,

−1000≤c≤1000,

−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例

输出样例

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码实现

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1001;
int a[N][N] = {}, b[N][N] = {}; // a数组为前缀和数组，b数组为差分数组int main()
{int n, m, q;cin >> n >> m >> q;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)cin >> a[i][j]; // 输入到a数组for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)b[i][j] = a[i][j] - a[i][j - 1] - a[i - 1][j] + a[i - 1][j - 1]; // 构建差分数组// 也是类比概率论中二维随机变量的概率分布while (q--){int x1, x2, y1, y2, c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;b[x1][y1] += c;         // 此行使以（x1，y1）为左上角，右下角无限延伸的区域的前缀和数组都加上了cb[x2 + 1][y1] -= c;     // 此行使以（x2+1，y1）为左上角，右下角无限延伸的区域的前缀和数组都减去了c，越来越接近目标区域了b[x1][y2 + 1] -= c;     // 此行使以（x1，y2+1）为左上角，右下角无限延伸的区域的前缀和数组都减去了c，目标区域多减了以（x2+1，y2+1）为左上角，右下角无限延伸的区域b[x2 + 1][y2 + 1] += c; // 补上多减的那一块}for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++)b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; // 求以（1，1）为左上角（i，j）为右下角的区域的和并保存在b[i][j]，即将b数组重构成前缀和数组for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++)cout << b[i][j] << " "; // 输出cout << endl;}return 0;
}